對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖中“合理推測”的思考

陳國權(quán)

一、教學(xué)案例

人教版四年級(jí)下冊(cè)“統(tǒng)計(jì)”單元中的折線統(tǒng)計(jì)圖的主要教學(xué)目的是讓學(xué)生了解折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，并根據(jù)折線的起伏變化對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單分析。其中在例2的教學(xué)過程中，學(xué)生在描點(diǎn)、連線的過程中體會(huì)到了數(shù)據(jù)的增減變化，經(jīng)歷了數(shù)據(jù)整理、描述、分析的全過程，使學(xué)生對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖有了更深入的認(rèn)識(shí)，同時(shí)完成了折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制，如下圖：

同時(shí)教材設(shè)計(jì)了3個(gè)問題，讓學(xué)生進(jìn)一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。第3個(gè)問題，“陳東5歲半時(shí)身高大約是多少”，教材編寫的意圖是讓學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)變化特點(diǎn)對(duì)陳東5歲半時(shí)的身高進(jìn)行合理推測。

在一次聽課中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在思考這個(gè)問題時(shí)，產(chǎn)生了下面兩種不同結(jié)論：

學(xué)生甲認(rèn)為：5歲半處于5歲和6歲的中間，身高也應(yīng)處于108厘米和115厘米的中間，應(yīng)該是108和115的平均數(shù)，于是教師幫他算出了平均數(shù)：111.5厘米。

學(xué)生乙認(rèn)為：更接近115厘米，也許是113或114厘米。他是依據(jù)自己的身高的增長情況作出判斷的，因?yàn)樗綍r(shí)經(jīng)常測量自己的身高，發(fā)現(xiàn)自己上半年長得快，下半年長得很慢。

絕大多數(shù)的學(xué)生贊同學(xué)生甲的觀點(diǎn)，執(zhí)教教師也更傾向于這種答案，于是教師在折線統(tǒng)計(jì)圖上通過作圖（如下圖），似乎進(jìn)一步證明了學(xué)生甲的觀點(diǎn)更有道理，于是全班同學(xué)達(dá)成了一致意見：陳東5歲半時(shí)的身高是111.5厘米。

二、思考分析

學(xué)生甲的觀點(diǎn)真的正確嗎？學(xué)生乙的想法真的錯(cuò)了嗎？課后筆者深思了一番，覺得這位教師的做法確有不妥，用連線上點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)來推測結(jié)果的做法，事實(shí)上折射出了這位教師對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖理解不夠深入，不能正確區(qū)分折線統(tǒng)計(jì)圖與函數(shù)圖像這兩者的本質(zhì)，從而造成概念上的混淆。

函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達(dá)方式，函數(shù)圖像上的任意一個(gè)點(diǎn)都有其確定的意義，它相應(yīng)地有一對(duì)函數(shù)的自變量和因變量的值與之相對(duì)應(yīng)。而折線統(tǒng)計(jì)圖則不同，折線統(tǒng)計(jì)圖上的點(diǎn)，只有那些根據(jù)調(diào)查而來的數(shù)據(jù)描出來的點(diǎn)才是真正有意義的點(diǎn)，才能表示真實(shí)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，而點(diǎn)與點(diǎn)之間連線上的點(diǎn)并不一定表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的真實(shí)數(shù)據(jù)，只能表示一種可能的數(shù)據(jù)。

上述案例中的統(tǒng)計(jì)量——身高，雖然在一定年齡階段內(nèi)作為變量是連續(xù)的，但統(tǒng)計(jì)的身高數(shù)據(jù)往往不是連續(xù)不斷測量出來的結(jié)果，而是每隔一段時(shí)間（題中為每隔一年）測量的結(jié)果，因此這些每隔一段時(shí)間測量出來的身高數(shù)據(jù)還是離散的量。可以說所有折線統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)的量雖然表面上看上去是連續(xù)的，但實(shí)際上一般都是離散的，只能表示的是一種趨勢。可見學(xué)生乙的觀點(diǎn)不無道理，對(duì)于身高這個(gè)特殊的統(tǒng)計(jì)量（在一定年齡階段內(nèi)只會(huì)增長不會(huì)下降，且增長幅度不是勻速的）而言，也許更有現(xiàn)實(shí)意義，更能區(qū)分折線統(tǒng)計(jì)圖與函數(shù)圖像的不同。

下面兩個(gè)折線統(tǒng)計(jì)圖的例子或許也能幫助說明一些問題：

5月21日白天室外氣溫情況統(tǒng)計(jì)圖

溫度

從13：00到15：00的氣溫變化情況來看，這2個(gè)小時(shí)的氣溫呈現(xiàn)下降趨勢，但實(shí)際上除了13：00和15：00這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)外，13：00到15：00之間的時(shí)間并沒有測量真實(shí)的室外氣溫，因而折線上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的氣溫并不表示該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)時(shí)間的真實(shí)氣溫，并不表示從13：00到15：00氣溫越來越低，所以說從13：00到15：00的連線只能表示這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)氣溫變化的總體變化趨勢，并不表示真實(shí)氣溫。熟悉地理的人都知道，往往下午2點(diǎn)左右的氣溫是一天最高的氣溫，因?yàn)榇藭r(shí)地面吸收太陽輻射的熱量與輻射出去的熱量大致相等，因此，此時(shí)的溫度最高。

某地區(qū)1997-2003年每百戶家庭彩電平均擁有量統(tǒng)計(jì)圖

從上圖看，從1997年到2003年每百戶家庭彩電平均擁有量呈快速上升的趨勢，上圖中每一個(gè)點(diǎn)都表示某一年份彩電數(shù)量，如1997年是30臺(tái)，1998年是34臺(tái)。這兩個(gè)點(diǎn)的連線上的任意一點(diǎn)確實(shí)橫向?qū)?yīng)著彩電的臺(tái)數(shù)，但縱向卻沒有對(duì)應(yīng)的年份，所以就沒有了統(tǒng)計(jì)的意義。

因此，折線統(tǒng)計(jì)圖中兩點(diǎn)間的連線表示的是兩點(diǎn)之間總體變化趨勢，但這兩點(diǎn)間的點(diǎn)所表示的量并非是真實(shí)的，甚至是無意義的，所以切不可以此作為推測的依據(jù)。

三、教學(xué)建議

在教學(xué)中教師應(yīng)讓學(xué)生通過對(duì)數(shù)據(jù)的解讀、折線的變化，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，以促使學(xué)生對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識(shí)更為深刻，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。比如下面這位教師的教學(xué)處理得比較靈活、生動(dòng)，學(xué)生學(xué)習(xí)體會(huì)也非常深刻。

第24屆～第30屆奧運(yùn)會(huì)中國獲金牌數(shù)統(tǒng)計(jì)圖

圖1

教師先出示24屆至29屆的數(shù)據(jù)（見圖1），讓學(xué)生對(duì)第30屆中國獲得金牌數(shù)進(jìn)行預(yù)測，由于學(xué)生的年齡較小、平時(shí)不太關(guān)注等各種原因，第30屆中國獲多少枚金牌已無記憶，幾乎所有的學(xué)生認(rèn)為第30屆會(huì)高于51枚，就在學(xué)生愛國熱情高漲并大膽預(yù)測的同時(shí)。教師出示了第30屆的金牌數(shù)，并把統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整，此時(shí)學(xué)生豁然開朗。

教師擇機(jī)給學(xué)生提了三個(gè)問題：

（1）從圖上看，從第24屆到29屆，金牌數(shù)在不斷地增加，第30屆為什么會(huì)少了呢？

（2）第30屆的金牌數(shù)是不是說明中國的體育水平下降了？

（3）第31屆你預(yù)測會(huì)得多少枚？

通過這兩個(gè)問題的討論與交流，使學(xué)生漸漸明白了：

第一，數(shù)據(jù)的變化會(huì)受多種因素的影響，不是一成不變地增加或減少，如題中因?yàn)榈?9屆奧運(yùn)會(huì)在北京舉行，運(yùn)動(dòng)員們占據(jù)了天時(shí)、地利、人和等一切有利條件。

第二，數(shù)據(jù)的變化趨勢不能只看兩個(gè)相鄰數(shù)據(jù)的變化，而應(yīng)整體看所有的數(shù)據(jù)變化情況，如題中雖然第30屆比29屆少了13枚，但相對(duì)于前幾屆來說，同樣處于上升的趨勢。

第三，對(duì)于沒有發(fā)生的事件進(jìn)行預(yù)測，可以根據(jù)整體的變化趨勢進(jìn)行判斷，但這種判斷并不是肯定的，這只是一種可能，只不過在這種趨勢下可能性大一些。

（浙江省湖州市吳興區(qū)教學(xué)研究與培訓(xùn)中心 313000）