讓幾何概念“立”起來

鄭莉

豐富學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，有利于學(xué)生更為準(zhǔn)確有效地建立幾何概念，讓幾何概念真正在學(xué)生的腦海中“立”起來！

一、拓展生活經(jīng)驗，讓幾何概念建構(gòu)有“寬”度

發(fā)掘兒童的生活經(jīng)驗、拓展數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，可以更好地幫助兒童習(xí)得幾何概念，而觀察是學(xué)生建立空間觀念的最基本的途徑，因此，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察非常重要。

（一）動態(tài)觀察，活化數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗植根于學(xué)生的生活經(jīng)驗，在學(xué)生生活實際中，動態(tài)的物體總是更容易受到關(guān)注，因此，借助動態(tài)觀察，有利于學(xué)生生活經(jīng)驗向數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的拓展。下面是“平角和周角”教學(xué)中的一個動態(tài)觀察環(huán)節(jié)。

師：從這個頂點慢慢引出兩條射線（動畫演示），組成了一個角。這是一個什么角呢？

生：這是銳角。

師：仔細(xì)觀察，這個角發(fā)生了什么變化？

生：它變大了，開口越來越大。現(xiàn)在變成了一個直角。

生：它還在慢慢變大，現(xiàn)在是一個鈍角了。

師：再來看看，它還能變大嗎？

生：還能，如果把兩條射線拉平，看上去像一條直線的時候，就是平角了，有180度呢！

師：我們一起來看一看。平角符合角的定義嗎？

生：符合，它有頂點和兩條射線，只不過看上去這兩條射線成了一條直線。

師：這個角繼續(xù)變化，你又有了什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：角的兩條邊重合了，成了一個周角。

教學(xué)中，教師將運動中所成的五種角——銳角、直角、鈍角、平角和周角逐一呈現(xiàn)，學(xué)生在觀察中建立各種角的概念，形成概念表象，通過教師有意識地對比和引導(dǎo)，進(jìn)一步理解了角的內(nèi)涵，加深了學(xué)生對“平角”和“周角”的理解。

（二）靜態(tài)觀察，促進(jìn)經(jīng)驗的生活遷移

幾何概念既包含對動態(tài)對象的刻畫，也包含對靜態(tài)對象的刻畫。下面是“四邊形”一課的知識應(yīng)用環(huán)節(jié)。

師：像這樣的四邊形在生活中哪些物體的表面能找到？

生：數(shù)學(xué)書的封面就是四邊形的。

生：橡皮的側(cè)面也是一個四邊形。

……

師：在美麗的校園圖中能找到這樣的四邊形嗎？用手指描一描。

教師反饋時將主題圖的局部放大，并用紅色突出四邊形，這樣的靜態(tài)觀察對于建立圖形的直觀記憶，辨析圖形的本質(zhì)特征效果顯著。同時也讓學(xué)生在明晰了幾何概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步了解圖形的生活意義，很有親切感，充滿了趣味。

二、深化原有經(jīng)驗，讓幾何概念建構(gòu)有“深”度

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是有層次的，日常生活中所獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，往往由于缺乏足夠的注意聚焦和反思，而流于淺薄，教師要想推動學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累，就必須深化學(xué)生原有生活經(jīng)驗，使幾何概念的建立具有一定的深刻性，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

（一）多樣變式，深化幾何概念的內(nèi)涵理解

引入變式可以使抽象的概念具有更豐實的支撐，從而使數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累變得更為完善和準(zhǔn)確。以“三角形的面積計算”一課的教學(xué)為例，筆者設(shè)計了靈活有趣的變式練習(xí)。

下面幾個三角形的面積都可以用“6×12÷2”計算，對嗎？

請學(xué)生仔細(xì)觀察后，作出回答，說明能用公式計算和不能用公式計算的理由。

學(xué)生頭腦中有著“水平為底、豎直為高”的標(biāo)準(zhǔn)圖形，這是從生活原型中抽象出來的，本環(huán)節(jié)的教學(xué)有利于學(xué)生利用概念突破原型定勢，促進(jìn)概念理解，更好地利用三角形面積計算公式解決問題。

（二）多元分類，澄清幾何概念的外延把握

分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在生活中已經(jīng)積淀了豐富的活動經(jīng)驗，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用分類，有利于學(xué)生澄清幾何概念的外延。如在教學(xué)了平行四邊形和梯形之后，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類研究。

師：根據(jù)四邊形的不同點，你能給它們分分類嗎？

生：根據(jù)兩組對邊是否相等可以分成兩類：長方形、正方形、菱形、平行四邊行為一類；梯形和一般四邊形為一類。

生：根據(jù)有幾組對邊平行可以分為三類：長方形、正方形、菱形、平行四邊形有兩組對邊平行；梯形有一組對邊平行；一般四邊形，沒有對邊平行。

……

根據(jù)邊或者角的特征對圖形進(jìn)行分類是一個非常開放和靈活的環(huán)節(jié)，這不僅有利于學(xué)生對概念之間的聯(lián)系和區(qū)別有清晰的認(rèn)識，更有利于學(xué)生從整體上把握概念，形成立體知識網(wǎng)絡(luò)。

三、優(yōu)化操作活動，使幾何概念建構(gòu)有“厚”度

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗中最為直接的來源當(dāng)然是數(shù)學(xué)操作，畫圖、填表作為最常見的數(shù)學(xué)操作活動，教師該如何精心設(shè)計以提高學(xué)習(xí)效率，讓幾何概念建立在厚實的經(jīng)驗基礎(chǔ)上呢？

（一）畫圖——操作過程形象化記錄

幾何概念的抽象不用多言，教學(xué)中常有一些難以突破的情況。很多時候畫圖則是一種有效的方法。例如：對稱和等分是兩個相似度很高的概念，怎么揭示它們的本質(zhì)區(qū)別呢？

師：長方形的對稱軸有幾條？誰能來折一折。（請學(xué)生演示：對稱的2種情況）

師：那么等分的情況又有多少種呢？請你動手畫一畫。

展示等分長方形研究成果：

……

生：我看明白了，等分只要把長方形分成形狀大小相同的兩部分就可以了。

生：等分的兩部分能完全重合才是對稱。

生：我發(fā)現(xiàn)只要畫一條通過中心點的直線就一定能把長方形等分成兩部分。

生：對稱軸只有2條，等分線可能有很多條。

……

用畫圖來表達(dá)自己對于等分和對稱的理解，真是一個推動概念內(nèi)化和思維外化的好方式。概念之間的細(xì)微差別也如同被放大了一般，清晰可見。

（二）填表——整理活動的框架式記錄

在教學(xué)中對所學(xué)概念進(jìn)行適時整理是非常必要的，借助表格整理有助于學(xué)生建立完善的知識結(jié)構(gòu)。以“平角和周角”一課的教學(xué)片段為例，簡潔凝練的表格整理，可以準(zhǔn)確有效地揭示概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。

師：非常能干，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角、直角、鈍角、平角和周角，它們各自的特點你能正確地區(qū)分嗎，請你用表格進(jìn)行整理。

學(xué)生整理，反饋。

師：它們都符合角的定義——從一點引出的兩條射線所組成的圖形。

這個梳理的過程，不僅有利于學(xué)生更清楚、深刻地體會五種不同的角之間的聯(lián)系和區(qū)別，也有利于學(xué)生習(xí)得表格整理的學(xué)習(xí)方法。

四、細(xì)化表達(dá)經(jīng)驗，使幾何概念建構(gòu)有“密”度

有一類數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不是直接產(chǎn)生于某種實際活動，而是將抽象的數(shù)學(xué)概念和法則，借助舉例、比喻、聯(lián)想等方法尋求某種具體形象的支撐，獲得意象固著點，形成某種“現(xiàn)實”的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。對幾何概念中某些關(guān)鍵字詞的理解就可以采用這種形式。以幫助學(xué)生細(xì)致入微地品味數(shù)學(xué)定義，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和精練，從而使幾何概念的建立更嚴(yán)密。

（一）類推，關(guān)注概念表述的差異性

概念是抽象的產(chǎn)物，有時與生活相差甚遠(yuǎn)。這就可以借助相關(guān)的概念之間某種（表述上）的相似性，采用類推的方式幫助學(xué)生獲得活動經(jīng)驗。

直線和射線的能無限延伸，對于學(xué)生來說很抽象，與他們的生活經(jīng)驗不相符。下面是教學(xué)中突破這一難點的一個嘗試。

師：我的一個口袋里裝著錢，王老師的兩個口袋里裝著錢，請問誰的錢多？

生：這可不一定，也許你的一個口袋裝了100元，王老師的兩個口袋的錢加起來還沒有100元。

生：也可能你們一樣多，也可能王老師的錢多，還可能你的錢多，這和放幾個口袋沒有關(guān)系。

生：主要是我們不知道你們各自到底有多少錢。

師：是啊，知道錢的數(shù)目才能比較多少，那么如果兩條線能測量出長度，就能比較長短，是嗎？（生回答是）如果兩條線不能測出長度呢？

生：哦！我懂了，直線和射線能無限延長，就無法測量長度，那就不能比了。

生：我也明白了，直線向兩邊無限延伸，射線向一邊無限延伸就和用幾個口袋裝錢一樣，其實沒有什么關(guān)系。

師：長度、長度，能度量才能比長短啊！

借助口袋裝錢這樣一個生活經(jīng)驗，讓學(xué)生輕松理解了錢的多少和裝錢的口袋多少沒有關(guān)系。由不知錢的數(shù)目就無法比較錢的多少類推到無法度量便無法判斷長短，學(xué)生的理解水到渠成，很自然。

（二）反例，關(guān)注概念表述的完整性

反例是證明一個命題為假的方法。在概念教學(xué)中，這有利于幫助學(xué)生關(guān)注概念表述的完整性和嚴(yán)密性。

教學(xué)“三角形的初步認(rèn)識”一課時，筆者先請學(xué)生用自己的語言描述什么是三角形。

生：三角形有三個角。

師馬上出示下圖：

生：不應(yīng)該數(shù)角，應(yīng)該看邊，三角形是有三條邊的圖形。

師馬上又出示一組圖：

生：不對，三角形應(yīng)該是由三條直的邊組成的圖形。

師馬上又出示一組圖：

生：不對，應(yīng)該是由三條直的邊組成的封閉圖形。

師馬上又出示了一個圖形：

生：不對，不對，還應(yīng)該說明是三條邊首尾相連組成的封閉圖形。

師：我們把剛才同學(xué)們討論的幾個要點整合起來，就是三角形的完整定義。

受限于學(xué)生年齡和心理發(fā)育水平，中年級的學(xué)生很難準(zhǔn)確地舉出反例質(zhì)疑概念的表述，那么可以由教師代勞。通過一次又一次思維的碰撞，學(xué)生對于三角形概念的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識都逐步清晰起來。特別是對首尾相連有了切身的體會。

當(dāng)幾何概念建構(gòu)擁有了經(jīng)驗的寬度、深度、厚度、密度之后，就在學(xué)生的頭腦中真正“立”了起來。因而，豐富學(xué)生基本幾何活動經(jīng)驗是學(xué)生學(xué)好幾何概念的必由之路，這需要教師不斷地付出努力，在研究的道路上且行且思，且思且行！

（浙江省杭州市育才外國語學(xué)校 310012）