用好“比較”策略 促進知識建構

邵漢民

“比較”在《現代漢語詞典》的解釋中可以有三種詞性，分別是動詞、介詞與副詞，在這里筆者取其動詞的解釋，即“比較”是就兩種或兩種以上同類的事物辨別異同或高下?！氨容^”是數學學習最基本的學習策略之一。通過比較，可以溝通數學知識與生活經驗的聯系，也有利于新知與舊知建立起完整的結構體系。那么，如何用好比較的策略學習數學？下面筆者以“面積與面積單位”的教學為例，從如何找準數學學習過程中的比較點這一角度，闡述具體的做法。

一、找準生活數學中的比較點

生活數學是相對于學校數學而言的，指學生由生活經驗而積累起來的數學知識，相對于學校數學缺乏嚴密的邏輯體系，卻與學生的日常語言與思維方式有著直接的聯系。

生活數學的積累往往是一種無意識的自發行為，與學生的日常生活環境有著密切的聯系，它既是學校數學學習的基礎，也是學校數學學習的補充。如果能從學生的視角找準將學習的數學知識與生活數學的聯系，并進行有效的比較與提煉，在教學中就可以起到事半功倍的作用。

可以確信，對于三下年級的學生而言，在日常生活中，經常會觀察與比較一些物體的面，并通過直觀比較，判斷不同物體表面的大小。而學生在表述時，卻可能用“大小”來表述“面積”，即數學中的“面積”就是日常語言中的“面的大小”。

對于物體面“大小”的比較策略與物體“長度”的比較策略相同，都是重合相同部分后有多余者為較大或較長。前者只是從一維到二維的拓展。教師可以通過題組的形式，實現策略上的比較，引出與“面積”相對應的日常詞匯“大小”，并由教師進一步提煉引出“面積”的基本概念：“物體表面的大小，就是它們的面積”。

在實際教學中，筆者組織了如下的一組材料：

比一比，說一說：

（1）在下圖中，紅筆比綠筆（ ）。這句話中是在用紅筆的（ ）與綠筆的（ ）作比較。

（2）在下圖中，黑板面比電視機屏幕面（ ）。這里的意思是用黑板面的（ ）和電視機屏幕面的（ ）作比較。

上面的設計，通過對兩組實物的比較，喚起學生已有的經驗，直觀感受到面積與長度的區別，激發學生對“面積”進一步研究的意向。

至于“面積單位”，筆者把它分為“日常面積單位”與“法定面積單位”?！叭粘Ｃ娣e單位”是指根據實際情況就地取材而選定的“面積單位”，如日常所說的這個客廳有10塊地磚這么大。這里，一塊地磚的大小就是“面積單位”?！胺ǘ娣e單位”是指邊長為法定單位長度的正方形的大小，即1平方米、1平方分米、1平方厘米等。從面積單位的形成過程而言，是由“日常面積單位”演變到“法定面積單位”的過程。

在實際教學中，筆者以觀察“七巧板”的面積活動引出“自然面積單位”，在教師的不斷追問下逐步經歷“法定面積單位”的形成過程。

課件出示下圖的七巧板，教師問：這塊七巧板有多大？

學生1：有七個圖形這么大。

學生2：有4個①號圖形這么大。

其中學生2的說法中已經包含了“自然面積單位”的觀念。依據學生2的說法，教師直觀演示。接著教師可以進一步追問：

如果把⑤號圖形作為面積單位，那么這個正方形有多大？

通過兩個問題積累了如下的素材：

進而教師再追問：為什么同一塊七巧板，一會兒說是4個面積單位，一會兒說是8個面積單位？在這里除了三角形可以作為面積單位，其他的圖形可以嗎？

在學生對后一個問題作出肯定的回答后，教師進一步追問：什么樣形狀的圖形作為面積單位最合適？并用如下的圖示作為輔助。

當學生有多個答案時，教師反問：哪一個圖形作為面積單位最不合適？學生選擇后教師課件演示在虛線的長方形中排列，讓學生直觀地感受到選擇正方形作為面積單位的優越性。如下圖。

在認同用正方形作為面積單位的形狀后，教師繼續追問：取邊長為多少的正方形作為面積單位比較合適？

當學生無法回答時，教師可引導學生回憶常用的長度單位。學生在長度單位的啟發下，“創造”了常用的面積單位：平方米、平方分米、平方厘米，由長度單位作為基本，建立起這幾個面積單位的觀念。

數學來源于現實，但高于現實。從現實生活中可以找到數學的原型與生長點，通過比較與抽象，就可以得到抽象化、規范化的數學知識，由此形成的數學知識更加有利于學生的理解，有利于學生體會到數學的形成過程。

二、找準學校數學中的比較點

學校數學是學生數學學習的主渠道，學校數學學習的過程是學生數學知識不斷積累、學習經驗不斷豐富、認知結構不斷完善、應用能力不斷提高的過程。因此，在數學新知學習時，往往與原有知識基礎有著密切的聯系，且這種聯系不僅體現在外顯的知識結構上，還體現在數學學習的思維方式上。

“面積”與“周長”是同時存在于同一個封閉圖形的兩個幾何量。但是，由于學習的需要，往往會放到兩個學期進行教學，學生也會誤認為這是兩個相互獨立的概念。因此，在建立面積概念的同時，可以對同一個物體的面或封閉圖形，同時指出它的“面積”與“周長”，讓學生通過直觀比較，既明白兩者的區別，也感受到它們之間的聯系。

在實際教學中，筆者以課本封面的周長與面積為例進行了直觀比較，并請學生分別指出課本封面的周長與面積。

在學生正確地指出后，教師進行總結：同樣是這本數學書的封面，既有以前學過的有關周長的知識，又有今天學的面積知識，它們都可以用來描述數學書封面的特征。

同樣地，“面積單位”與“長度單位”雖然有著不同的使用范疇，但也可以看成“同類事物”進行比較。即數學中的“同類事物”有時需要通過拓展外延來實現，例如，“8”和“9”兩個具體整數的大小比較，“分數”與“整數”則可以進行兩類不同的數的意義比較，“分數的意義”與“分數乘法應用問題”則可以在思維結構上進行比較。

三、融合兩類數學的比較點

學校數學為學生提供了相對抽象、嚴密的數學體系；生活數學則為學生提供了豐富的生活經驗，兩類數學的有機融合構成了學生豐富立體的數學世界。在實際教學中，教師既要明晰兩類數學中各自的比較點，還要能夠把它們有機地融合，形成更加符合學生的認知規律，有利于形成揭示數學本質的教學流程。

如理解“面積”的意義，教師可以通過三次比較，即通過“長度”與“大小”的比較，概括出“物體表面的大小”就是物體表面的“面積”。接著通過數學書封面的周長與面積的比較，形象地說明“周長”與“面積”的不同屬性。在此基礎上教師出示如下圖的問題。在“封閉圖形”與“不封閉圖形”的比較中概括出“封閉圖形的大小”就是這些圖形的“面積”。

同樣，教師可以通過三次比較來完成“面積單位”的意義構建。如前文中所述，首先通過對“日常面積單位”中各種形狀的比較來感受確定“法定面積單位”的必要，接著通過“長度單位”與“法定面積單位”的比較，發現兩種單位體系之間的內在聯系，初步形成“面積單位”的觀念。在此基礎上，再以“1平方分米”為重點，列舉了“1平方分米”的各種具體的呈現方式，通過具體現象的比較分析，建立起更加扎實的“面積單位”的意義。具體如下。

教師讓學生在不同大小的正方形彩紙中找出“1平方分米”的彩紙后，引導學生歸納：邊長為1分米的正方形，它的面積是1平方分米。接著請學生在身邊找1平方分米，用手勢比畫1平方分米。通過上述活動，學生的頭腦中已經構建了“1平方分米”的大小觀念，但這個觀念還只局限于“正方形”，為打破這種思維定勢，建立起更加完整的1平方分米的概念，筆者接著組織了如下兩個活動。

一是測量。用1平方分米的正方形彩紙測量書本的封面，估計數學書的封面大約是多少平方分米。學生在封面上鋪上兩個1平方分米的正方形后，在一邊還空出一個長條，大多數學生通過估計認為這一長條大約是1平方分米。教師順勢追問：怎樣來檢驗空白部分大致是1平方分米呢？根據學生的回答，教師把一個“1平方分米”的彩紙平均分成2個小長方形，拼到空白處。如下圖，直觀地展示了學生“1平方分米”的兩種形狀。教師繼續追問：1平方分米還可以是其他的形狀嗎？

二是剪拼。學生依據經驗認同還可以有其他形狀后，教師把一個“1平方分米”的正方形彩紙，剪成不規則的兩個部分，再進行拼組，得到各種不規則的形狀后展示，并問：是1平方米嗎？再把一張“1平方分米”的彩紙卷成一個圓柱，再問：這一個彎曲的面還是“1平方分米嗎？”在對各種直觀現象的辨析過程中，豐富了“1平方分米”的表象與內涵。如下圖。

一般地，通過聯系學生日常數學的事例比較，可以讓學生的數學學習有“根”：把抽象的數學知識與鮮活的生活經驗相聯系；通過與原有學校數學知識的比較，讓學生的數學學習有“魂”并形成更加完整的認知結構。而兩者的有機融合，可以讓數學學習既有“根”又有“魂”。

（浙江省杭州市蕭山區教研室 311200）