運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面向量的最值問題

衛(wèi)保新

摘要：本文通過對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)例題的簡(jiǎn)要分析，簡(jiǎn)要談了應(yīng)如何運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面向量的最值問題，并提出了筆者的一些體會(huì)。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)法；平面向量；最值問題

在平面向量中，解決有關(guān)最大、最小值問題是高考命題中一個(gè)比較常見的熱點(diǎn)問題，題目主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的模、向量的基本運(yùn)算等重要知識(shí)點(diǎn)。解題的方法除了運(yùn)用數(shù)量積的定義，也可運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。知識(shí)綜合運(yùn)用三角、不等式、函數(shù)等內(nèi)容。解題的思想體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程等思想方法。在高考和平時(shí)的課堂教學(xué)中，學(xué)生解題過程時(shí)很難聯(lián)想到引入直角坐標(biāo)系、運(yùn)用坐標(biāo)建立函數(shù)模型、不等式模型解決問題。

那么，如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系呢？一是抓住題中直接或間接的垂直關(guān)系；二是抓住題中定量與不定量的關(guān)系；三是抓住是否有利于圖形寫出方程的簡(jiǎn)單化；四是抓住點(diǎn)的坐標(biāo)更容易寫出；五是所建立的直角坐標(biāo)系不影響求解的結(jié)論。

下面用具體例子說明建立直角坐標(biāo)系、運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面向量最值問題（以下的解法僅給出坐標(biāo)法說明，原標(biāo)準(zhǔn)方法在此不再列出）

例1.（2010年高考全國(guó)卷） 已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（ ）。

解：建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)圓的方程，

不妨設(shè)P在y軸上，設(shè)P（0，t）（t>1）

則 ，

化簡(jiǎn)得

故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 ，的最小值為.

說明：在例1中原題中沒有給出圖形，學(xué)生在解決問題時(shí)雖然能作出圖形，由于點(diǎn)P的不確定性，所以學(xué)生不容易聯(lián)想到建立直角坐標(biāo)系把問題代數(shù)化，在P點(diǎn)的選擇技巧上，由于圓外一點(diǎn)均可作出圓的兩條切線，并且無論點(diǎn)P位于何處，總可以以PO為x軸或y軸建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。本題運(yùn)用了重要的知識(shí)點(diǎn)——平均值不等式求最值。

例2.（2011高考全國(guó)卷）設(shè)向量滿足，

則的最大值等于（ ）.

解：建立直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè) 則AC，BC的斜率

化簡(jiǎn)得： 即圓M：

的最大值即為圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為.

說明：在原題目中沒有給出相應(yīng)的圖形，在畫出的常規(guī)圖形也難以使學(xué)生聯(lián)想出到建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法去解決問題。在原標(biāo)準(zhǔn)解法中，難點(diǎn)在于學(xué)生在作圖中存在不定點(diǎn)C的確定，還有向量夾角的理解，另一難點(diǎn)發(fā)現(xiàn)不了對(duì)角互補(bǔ)時(shí)四點(diǎn)共圓，且在情況下，才使得OC可以過圓心，作為直徑時(shí)，弦長(zhǎng)最大即最大。對(duì)于運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題，學(xué)生存在對(duì)建立坐標(biāo)的意識(shí)不夠，對(duì)如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，認(rèn)知也不透。本題考慮到的特殊性，并且坐標(biāo)易寫出的特征，問題得以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)法，再進(jìn)一步結(jié)合了幾何法解決。

例3.（2009安徽高考） 給定兩全長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120O，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若，其中，則的最大值是_____________.

解：不妨令，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，如

圖建立直角坐標(biāo)系，則

，點(diǎn)C在圓上

即 由平均值不等式

且

所以的最大值為2 （這里也可以令構(gòu)造函數(shù)模型）

說明：在原標(biāo)準(zhǔn)解法中，在兩邊點(diǎn)乘向量、轉(zhuǎn)化為模，且點(diǎn)乘后相加，還有得出，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生都不容易推理得到。本題從所給出的圖形中就可以聯(lián)想到建立坐標(biāo)系，由A，B的坐標(biāo)寫出C點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)一步構(gòu)造成不等式或函數(shù)的模型解決問題。

從以上三道例題可以看出，在解決向量數(shù)量積、向量的模、向量的夾角等有關(guān)問題，以及在求有關(guān)最大、最小值問題時(shí)，常常會(huì)碰到某些難以突破的幾何關(guān)系。在題目所給出的幾何條件、幾何關(guān)系或所隱藏的幾何關(guān)系相對(duì)較難尋找的情況下，運(yùn)用數(shù)量積的定義、向量的幾何意義難以完成解題思路時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系、運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的意識(shí)、運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、尋找出變量與變量之間的關(guān)系、運(yùn)用函數(shù)與方程求最值的方法、平均值不等式等解決問題的方法是一種非常好的思想方法。這使學(xué)生在碰到困難時(shí)，有更強(qiáng)的解決問題的能力。所以，在教學(xué)中，教師要想辦法貫穿幾何法、坐標(biāo)法兩條教學(xué)主線，讓學(xué)生能在學(xué)習(xí)中站在高處看問題，解決問題的方法更豐富。教會(huì)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，引入了坐標(biāo)也能很好地運(yùn)用函數(shù)與方程的思想、曲線與方程的思想、函數(shù)與不等式等，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。