品味橢圓中的數學美

許彪

摘 要：數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應適當反映數學的美學價值，幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，促使學生形成正確的數學觀。本文從新課改的需要出發，并結合筆者的教學實踐，對橢圓中所蘊含的數學美做了初步探討。

關鍵詞：橢圓；數學美；探究活動

華羅庚教授說過：“就數學本身來說，也是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的。”所以，數學是一門富有美感的學科。

1橢圓的數學美

人的愛美天性在青少年時期表現尤為突出。數學教師應抓住這個最佳時期，不失時機地向學生揭示數學之美，對學生進行審美教育。

1.1簡潔美

數學之所以吸引人，原因之一是它能對紛亂繁雜的數學現象進行高度概括，使學習者能從中感受它的簡潔美。在數學語言的研究中，按數學語言所使用的主要詞匯，可以將數學語言分為三種：文字語言、符號語言、圖形語言。

橢圓的定義：如果在一個平面內一個動點到兩個定點的距離的和等于定長，那么這個動點的軌跡叫做橢圓。每個詞、每句話簡練、嚴謹且相互作用、相互聯系，對橢圓定義進行了完美描述，從而體現了數學的簡潔美，這也是數學語言形式美與內在美的表現。

橢圓中的符號語言簡潔、明了。如橢圓概念的符號表示P={M|∣MF1∣+|MF2||=2a，2a>|F1F2|}，關系緊湊，言簡意賅；橢圓的兩個標準方程具有簡單整齊之美；離心率e■，簡潔易記。

1.2對稱美

對稱是美學的基本法則之一。橢圓有兩條互相垂直的對稱軸及一個對稱中心，被賦予了平衡、協調的對稱美。

1.3比例美

眾所周知，著名的“黃金分割法”揭示了一種最優美的線段比例關系。如果把“黃金分割法”引入圖形，那么就會產生最優美的視覺效果。橢圓也是如此，離心率為■的橢圓被稱作“黃金橢圓”，給人以美的享受。

1.4方法美

方法美是指在解答（或證明）復雜的數學問題中體現出來的美。二次曲線的定義揭示了二次曲線的本質屬性。許多時候，恰當地利用定義能幫助我們解題。直線與橢圓的位置關系有一般方法，但涉及中點弦的問題時還可以用點差法。

1.5奇異美

數學中新穎的結論、出人意料的反例和巧妙的解題方法表現出令人驚訝的奇異美。我們都知道：用一個與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到的截口曲線是橢圓（如圖1）。如果我們沿圓柱的某一條母線剪開，將側面展平，可以看到截口曲線就是一條三角函數曲線。

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數學的研究對象是數、形、式。數的美、形的美、式的美隨處可見。橢圓的數學美還不僅于此，它貫穿于橢圓的方方面面。

2品味橢圓的數學美

數學美是抽象的、精煉的，不像藝術美那樣外顯。對于學生來說，由于受年齡、知識水平、審美能力的限制，很難把數學美的真正意蘊充分體會出來。因此，教師必須改革數學課堂模式，讓學生綜合運用眼、耳、手、大腦，讓數學的學習過程變為發現數學美的過程。

2.1品味橢圓定義的數學美

2.1.1品味橢圓定義的簡潔美

教師可以創設問題情境，通過對一些工具、模型的動手操作，引導學生自主探究數學知識。

課前準備：兩位學生為一組，準備兩枚圖釘、一條不能形變的細線、一張白紙、一支鉛筆。

具體操作：請一組學生上講臺操作，其他學生在下面操作，學生通過操作總結結論。

（1）把繩子固定在黑板上，要求繩子不繃緊，然后拿粉筆把繩子拉緊并在黑板上畫圖，觀察一下得到的圖形是什么？你能找到在操作過程中的不變性嗎？

（2）若剛才固定繩子時，把繩子繃緊了，又會得到怎樣的圖形呢？

（3）釘在黑板上的兩個釘子的距離能比繩子長度大嗎？

通過課堂活動，學生能感悟到圖形的幾何性質。學生通過觀察圖形運動，能夠很自然地應對操作中所產生的問題，從而體會到橢圓定義的簡潔美。

2.1.2品味橢圓定義的應用美

火腿截面、籃球影子是橢圓的形象在生活中的寫照。教師可以設計一堂“火腿截面、籃球影子與橢圓”的研究課。

課前準備：

（1）圓柱形火腿一根，小刀和剪刀各一把；

（2）觀察籃球在陽光下的影子的形狀。

具體操作：

（1）用小刀把火腿切成兩段，觀察火腿截面形狀；

（2）討論火腿截面與籃球影子兩者之間的聯系；

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（3）閱讀探究與發現：為什么截口曲線是橢圓？證明火腿截面與籃球影子的形狀是橢圓。

（4）請大家吃掉火腿，并且不要弄破火腿皮。然后把火腿皮壓扁，用小刀裁開，再把它展平，觀察原來的截口曲線的形狀。

通過研究活動，學生能根據抽象的幾何模型概括出相應的數學問題，利于培養學生的數學建模思想和轉化思想，利于提高學生獲取、收集、處理信息的能力，使學生獲得參與研究探索的情感體驗，從而體會到橢圓的簡潔美、奇異美。

2.2品味橢圓方程的數學美

到平面內兩個定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。要根據已知條件，求橢圓的方程，可建立適當的坐標系。

2.2.1通過坐標系的選擇，感悟橢圓的對稱美

坐標系是構造數與形的橋梁，它選擇的合適與否直接影響曲線方程的構造。教師要讓學生通過討論、交流，并類比圓及其標準方程推導的過程，建立合適的坐標系，從而讓學生感悟橢圓對稱美的應用。

2.2.2通過要素的選擇，感悟數學符號的簡潔美

建系后，將條件轉化成關系式，要用到橢圓定義中“到平面內兩個定點F1、F2的距離之和”這個常數。而將關系式轉化成數學代數式要用到兩個定點F1、F2的坐標。這就需要將“到平面內兩個定點F1、F2的距離之和”和|F1F2|用字母表示。

以經過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系（如圖2）。設M（x，y）是橢圓上的任意一點，焦距是2c（c>0），M與F1，F2兩點距離之差絕對值等于常數2a.

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在教學過程中，教師可以提出為什么要取“2c”與“2a”，而不取“c”與“a”的問題，讓學生在反思中感悟數學符號的簡潔美。

2.2.3通過方程的推導，感悟橢圓的數學美

數學的發現和創造，反映了客觀世界的數量關系和空間形式。衡量一個結論是否成立，不僅有實踐標準和邏輯標準，還有美的標準。當一個結論尚未達到美的境界時，就必須繼續改進，按照美的規律來制造。

按橢圓的定義可得：

P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}

將坐標代入得方程■+■=2a.

此方程可作為橢圓方程，但它不符合簡單性原則。因此，教師可以將方程整理為■+■=1。此時的方程簡單多了。但是，橢圓具有對稱性，它所表示方程也該有對稱性。于是，由于a2-c2>0，故令b=■，即得■+■=1，此方程是如此簡潔優美。

至此，學生明白：一開始選擇“2c”“2a”正是為了追求簡單美，而產生b是人為制造的。但實踐證明，b正好是橢圓短半軸，又具有鮮明幾何意義。如此教學，通過深入挖教材中數學美之因素，教師既能闡明問題的本質，又能提高學生的審美能力，增強學生的創造意識。

平面直角坐標系推導出來的方程具有對稱美——只有x、y的二次項和常數項，為利用方程研究橢圓的對稱性奠定了基礎，使學生從對稱性的本質上得到研究對稱性的方法：-x代x后方程不變，說明橢圓關于y軸對稱；-y代y后方程不變，說明橢圓曲線關于x軸對稱；-x、-y分別代x，y后方程不變，說明橢圓曲線關于原點對稱。這樣，數與形的結合就得到深化，學生感受到對稱圖形的內在美，在美的體驗中享受到審美的樂趣。

2.3品味橢圓性質的數學美

教師可創設問題情境，讓學生自主探究如下問題：方程16x2+25y2=400表示什么樣的曲線，你能利用以前學過的知識畫出它的圖形嗎？

學生活動：

（1）列表、描點、連線進行作圖，在取點的過程中得到橢圓的范圍問題；

（2）求出橢圓曲線與坐標軸的四個交點，聯想橢圓曲線的形狀得到圖形；

（3）方程變形，求出a，b，c，聯想橢圓畫法，利用繩子作圖；

（4）只作第一象限內的圖形，聯想橢圓形狀，對稱得到其它象限內的圖形；

最后，通過實物投影，教師展示畫圖過程，挖掘學生的原有認知，提高學生的思維能力，從而達到數與形的統一，體現出數學的和諧美。

3在生活中應用橢圓的美

數學起源于生活，也應用于生活。例如：從橢圓的一個焦點發出的光線在經過橢圓周反射后，反射光都經過橢圓的另一個焦點。電影放映機的聚光燈有一反射鏡，它的形狀是旋轉橢圓面，正是應用橢圓的光學性質。“黃金橢圓”具有優美的視覺效果，將某些金銀首飾等做成“黃金橢圓”形，更能給人以美的享受，如幸運草LSL-236幸運草手環體現了橢圓之美。

橢圓是圓錐曲線的一種。通過對橢圓美的探討和研究，不僅有助于提高學生對圓錐曲線的進一步認識，為雙曲線和拋物線的研究奠定基礎，還可以提高學生的思維能力，開闊學生的視野，激發學生的學習興趣。

參考文獻：

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