對成人教育實變函數課程的教學思考

張茂柱

摘 要：本文從采用啟發式教學方法、結合實際應用背景、與同類課程比較聯系三個方面闡述了如何提高成教學生學習實變函數的積極性。

關鍵詞：實變函數；啟發式教學；微積分

在現代社會中，成人基于其認知興趣、職業發展、社會服務等學習動機，通過各種正規、非正規的途徑獲取新的知識和技能，從而使知識結構發生變化。在高等院校成人教育數學專業中，實變函數是一門重要的專業基礎課程，對于掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思維能力和數學表達能力、加深對數學分析知識的理解、深化對中學數學有關內容的認識有著深遠的影響。

然而，實變函數理論的抽象性和困難性，使得學生學習難度很大。另外，基于成人教育學生的現狀，學生不可能對這種高度抽象的理論感興趣。因此，有必要改變傳統的教學方法，以提高學生學習實變函數的積極性。

一、采用啟發式教學方法，激發學生學習的興趣

實變函數研究的主要對象是勒貝格積分理論，此積分理論的建立經歷了很長的奠基過程，包括集合理論、測度理論、可測函數理論等，從而進一步建立了新的積分理論。但只是籠統地這樣解釋對學生而言過于抽象，我們可以通過提出問題，一步步地引導學生學習相關理論。如在數學分析中見過的Dirichlet函數，它不是連續函數也不是可積函數，但是我們發現函數值為1的點集為有理點集，函數值為0的點集為無理點集。這兩個集合很不規則，那么這些集合是否可測量？如果可測量的話，如何度量這些不規則的集合的“長度”呢？這就是集合的可測性問題。接下來，我們利用可測集研究函數的性質，得到了一類較廣泛的函數類——可測函數。這一函數不是Riemann可積的，能否建立新的積分理論來研究此類函數的可積性？通過這一系列的講解，讓學生明白實變函數是數學分析的推廣和繼續，是近代分析數學的基礎理論，具有重要的理論價值。

在課堂教學中穿插一些數學典故、名人故事和一些定理證明來龍去脈的講授，能大大提升學生的學習興趣。比如我們在講授實變函數的產生的時候，就從如下的數學問題開始討論“連續函數除個別點以外是可微的”是否正確？維爾斯特拉斯就構造了一個函數并且證明了這個函數在任何一點都不可導，這個結論促使人們研究函數的更多性質，哪些函數是連續的，哪些函數是可導的，哪些函數是可以積分的，是否要修改積分的定義等等，這就促使了實變函數的誕生。也可以在講授積分內容的時候引入勒貝格和黎曼的一些經典典故來提高學生的學習興趣。

二、結合實際講解相關理論，提高學生學習的積極性

實變函數的概念多而雜，學生學習起來感覺枯燥無味。如果能在教學中加入一些恰當的應用實例，讓成人學生感覺到復雜定義背后深刻的應用背景，這樣容易激發學生學習的積極性和主動性，提高學生學習的效果。如在講到有限函數與非有限函數時，學生容易對在某點取值為無窮的函數感到困惑，認為不可能存在這樣的函數，并且這在中小學是不可能的一件事。事實上，這樣的函數確實存在，如在量子力學中的無限深方勢阱函數v（x）=0，0

在教學中，還可酌情增加部分內容讓學生體會所學內容與生活聯系。比如在講授康托集的時候，可以提問我國的海岸線有多長、雪花的周長等于多少等系列問題，進一步引出維數是否都是整數；通過提問如何描述測量時的尺度等引出法國數學家芒德勃羅所開創的現代非常流行的現代分形幾何學；在描述測度和積分的時候，可以引入隨機測度和伊藤積分等內容，隨機微分方程是現代金融數學的一個十分重要的工具，利用它可以建立期貨、股票、債卷等金融衍生工具的研發模型，預測一些重要的經濟形勢和走向；在討論空間理論時，可以引出索伯列夫空間理論，通過構造合適的空間并建立相應的完備化理論，簡單介紹山路引理等現代變分理論在研究哈密頓系統周期解方面取得的進展。

三、與數學分析、點集拓撲學等課程類比聯系，加深學生對概念理論的理解

實變函數是數學分析的深化和擴展，是在更廣闊的背景下討論微積分的課題。因此，在學習類似概念的時候要注意它們之間的聯系與區別。例如：幾乎處處成立、基本成立，可測函數列的幾種收斂以及積分的極限定理等，特別是一致收斂、依測度收斂的概念等數學分析當中已有部分例子，理解好上述例子后，實變函數課程當中的定義證明就變得相當明了和直觀。同時，建議學生通過比較學習Lebesgue積分的定義、性質，最后歸納出與Riemann積分的異同以及二者之間的關系。學生會發現實變函數里也有重積分、累次積分、變上限積分求導以及微積分基本公式等內容，理解起來就相對容易。

參考文獻：

[1]夏道行.實變函數與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，1984.

[2]江澤堅.實變函數論[M].北京：高等教育出版社，1961.

[3]曹廣福，等.實變函數論與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2004.