如何理解函數的概念

羅紅梅

摘 要：函數概念是數學中的一個極其重要的基本概念，它貫穿于整個中學數學學習，是中學數學中的核心概念，也是近現代數學的基石.然而函數概念的學習又是一大難點，很多學生都反映函數的概念十分抽象，很難把握，初學者很難抓住其內涵.根據教學經驗，結合實際，將函數概念與實際相結合，從而使學生更好地掌握其定義.

關鍵詞：函數概念；高中數學；集合

在高中教材中，函數的概念是這樣的：給定非空數集A，B，如果按照某個對應法則f，使得A中任一元素x，都有B中唯一確定的y與之對應，那么從集合A到集合B的這個對應，叫做從集合A到集合B的一個函數.記作：x→y=f （x），x∈A.集合A叫做函數的定義域，所有y組成的集合叫做函數的值域，記為C.

所以，要把握函數的概念需要明確兩點：（1）A、B都是非空數集.（2）集合A中的任何元素（任意性），通過某種對應關系，在B中都要有唯一確定的元素與之對應（唯一性）.從函數的定義可以看出，不能一對多，否則與唯一性相悖，但是可以多對一.下面我將從兩方面來分析如何加深對函數概念的理解.

一、客人住宿理論

我們可以將函數的概念與客人住宿問題聯系起來.將客人用數字編號并看成集合A中的元素，將房間用數字編號看成集合B中的元素.首先，每個人都必須要安排一個房間（對應于任意性），其次每個人都只能住一個房間（對應于唯一性，不能一對多），再次多個人可以住同一個房間（即允許多對一）.所有客人的集合即是定義域，所有住了人的房間的集合即是值域.

下面，我們通過兩道例題來分析一下：

例1.下列集合A到集合B的對應f是函數的是（ ）

A.A={ -1，0，1 }，B={ 0，1 }，f：A中的數平方

B.A={ 0，1 }，B={ -1，0，1 }，f：A中的數開方

C.A=Z，B=Q，f：A中的數取倒數

D.A=R，B={ 正實數 }，f：A中的數取絕對值

解析：按照客人住宿理論，選項A，-1，1對應于1，0對應于0.相當于每個客人都安排了房間，且-1，1兩個客人住同一個房間.

選項B，由于1開方后有1和-1與之對應，故相當于一個人住了兩個房間，一對多，不符合函數定義.

選項C，由于0在B中沒有元素與之對應，即沒有給客人0安排房間.

選項D同C.所以正確的選項是A.

例2.下列表示集合A到集合B的函數的是（ ）

解析：選項A，客人1一個人住了兩個房間，違背了唯一性.

選項B，每個客人都安排了房間，并且住了同一個房間，屬于多對一的情況，是函數.

選項C，3沒有安排房間，與任意性不符.

選項D，5沒有安排房間，與任意性不符.

二、豎直判斷法

鑒于函數不能一對多的原則，判斷給定的圖象能不能表示函數圖象，可以用豎直判斷法.即用任意一條平行于y軸的直線與給定的圖象相交，若存在交點個數不止一個的情形，則可以斷定該圖像不是函數圖象.

例3.下列圖象表示y是x的函數的是（ ）

解析：用豎直判斷法，由于A、B、D平行于y軸的直線與圖象都有兩個或兩個以上交點，很顯然只有C可以表示函數的圖象.

函數是數學中極其重要的概念，學好函數對后續的學習具有舉足輕重的作用，本文列舉的兩種方法是掌握函數概念的重要方法.客人住宿理論主要針對具體給定的某種對應關系，關鍵是抓住每個人都要安排房間，且不能住多于一個房間.豎直判斷法主要針對給定圖象，判斷圖象是否為函數圖象.雖然兩種方法適用對象不同，但是它們都能很直觀地幫助初學者理解函數的任意性、唯一性、確定性等性質，是值得推廣使用的方法.

（作者單位 中國人民解放軍裝備學院昌平士官學校）