淺談中學數學教學中二次函數的奧義

羅偉蘭

在初中新課標的九年級下冊第二章教材中，對二次函數作了較詳細的研究，但學生對這部分的內容學習都是機械的，又受其接受能力的限制，沒有深入地研究一元二次函數的性質，可知學生對一元二次函數的認知比較薄弱。為了能從本質上加以理解，進入高中的新課標以后，從內容上看，數學語言在抽象程度上發生突變、思維方法向理性層次上躍進。尤其是高三復習階段，一元二次不等式的解法是職高數學教學的重點和難點之一。在內容上，二次不等式、二次方程與二次函數密不可分，該內容涉及的知識點較多且社會應用廣泛。在思想層次上，它涉及到數形結合、分類轉化、方程、函數等數學思想，這些內容和思想將在中學數學中產生廣泛而深遠的影響。

一、進一步深入理解函數概念

二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記為f（x）= ax2+bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+5）。

這里不能把f（x+5）理解為x=x+5時的函數值，只能理解為自變量為x+5的函數值。

類型Ⅱ：設f（x+1）=x2-2x-2，求f（x）。

這個問題理解為：已知對應法則f下，定義域中的元素x+1的象是x2-2x-2，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x+2的多項式。

f（x+2）=x2-2x-2=（x+2）2-6（x+2）+6，再用x代x+2得f（x）=x2-6x+6。

（2）變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令g=x+2， 則x=g-2，∴ f（g）=（g-2）2-2（g-2）-2=g2-6g+6，從而f（x）= x2-6x+6。

二、二次函數的單調性，最值與圖象

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（-∞， -] 及 [-， +∞）上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

（1）y=x2+2|x+3|-4；

（2）y =|x2-4|；

（3）y=x2+2|x|-6。

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值符號的函數受定義域的影響用分段函數去表示，然后根據定義域和對應法則畫出其圖象，通過圖象準確研究其單調性，但必須明確分段函數不表示幾個函數。

類型Ⅳ：設f（x）=x2-2x-1在區間[t，t+1]上的最小值是g（t），求： g（t）。

解：畫出f（x）=x2-2x-1的圖象，由圖象可知： f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取得最小值-2，所以：當1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2；

當t>1時，g（t）=f（t）=t2-2t-1；

當t<0時，g（t）=f（t+1）=t2-2。

可見，解決這一類型的題目，首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再補充一些練習。

如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數的值域。

三、二次函數的知識，可以準確反映學生的數學思維

類型Ⅴ：設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個根x1、x2滿足0

解題思路：本題要證明的是x

（Ⅰ）先證明x0， 又a>0， 因此f（x）>0， 即f（x）-x>0。 至此， 證得xf（0），所以當x∈（0， x1）時f（x）

（Ⅱ） ∵f（x）=ax2+bx+c=a（x+）2+（c-），（a>0），函數f（x）的圖象的對稱軸為直線x=-，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-，因為x1、x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據韋達定理得x1+x2=-，∵x2-<0，∴x0=-=（x1+x2-）<，即x0=。

四、二次函數在解一元二次不等式中的應用

解不等式-x2+2x-3>0。

解：原不等式可化為x2+2x-3<0，配方，得（x-1）2<-2，由非負數的性質可知此不等式不成立，∴原不等式的解集是空集。

說明：一元二次不等式若能變化成絕對值不等式，或一個完全平方式與一常數之和的形式，則用配方法求解比較簡便。

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的函數，可以以它為代表來研究函數的性質，建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

責任編輯 徐國堅