構造三角形中位線解題例析

高賢蓮

三角形的中位線是三角形中的重要線段，通過添加三角形的中位線來解決幾何證明題是行之有效的方法.在解答某些與中點有關的幾何說理題時，若能根據題意巧妙地作出中位線，就會有出奇制勝的效果.

下面是本人在教學中總結出的幾道題予以說明，以供參考.

【例1】 如圖1所示，在△ABC中，∠B=2∠C， AD是三角形的高，點M是邊BC的中點，求證：DM=12AB.

解析：取AC的中點E， 連接ME，

由三角形中位線定理可知ME∥AB，

ME=12AB，所以∠EMC=∠B，

又因為∠B=2∠C，所以∠EMC=2∠C，

已知AD⊥BC， 所以DE=12AC=EC， ∠EDM=∠C=∠DEM， 所以DM=ME， 易得DM=12AB.

【例2】 如圖2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD+BC=AB， M是CD的中點，求證：AM⊥BM.

分析：證法一：取AB的中點N，

連接MN，由梯形的中位線定理易得NM=12（AD+BC），

又已知AD+BC=AB，所以MN=12AB=AN=BN，

可得AM⊥BM.

證法二：延長AM交BC的延長線于P點，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠DCP，∠DAP=∠P，

又∵M為CD中點，

∴DM=CM，

∴△ADM≌△PCM（AAS），

∴AM=PM，AD=PC，

又∵AB=AD+BC，

∴AB=PC+BC=PB，

所以AM⊥BM（利用三角形的“三線合一”）.

圖4

【例3】 四邊形ABCD的對角線相交于點O，且AC=BD，M，N分別是AB，CD的中點，MN分別交BD，AC于點E，F，試說明OE=OF.

證法一：取BC的中點P，連接PM、PN，

∵M是AB的中點，

∴PM是△ABC的中位線，

∴PM∥AC且PM=12AC，

∴∠PMN=∠OFE.

同理可證，PN∥BD， PN=12BD，

∴∠PNM=∠OEF，

又∵AC=BD，

∴PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠OFE=∠OEF，

可證OE=OF.

證明二：取AD的中點P，連接PM， PN，

∵M是AD的中點，

∴PM是△ABD的中位線，

∴PM∥BD且PM=12BD，

∴∠PMN=∠OEF，

同理可證，PN∥AC， PN=12AC，

∴∠PNM=∠OFE，

又∵AC=BD，

∴PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

∴∠OFE=∠OEF，

可證OE=OF.

總之，三角形的中位線定理，是一個非常有價值的定理.它是一個遇到中點，必須聯想到的重要定理 ，但是在解題時，往往只知道一個中點，而另一個中點就需要同學們根據題目的特點自己去尋找.關于三角形中位線定理的應用，這部分知識在初二幾何中占有很重要的地位，它對《梯形中位線》、《平行等分線段定理》、《相似形》等的學習起到輔助的作用.學好中位線定理很重要，特別是如何正確添加輔助線構造三角形的中位線對每一個學生來說是一個重點也是一個難點.要求學生要善于覺察圖形的有關定理的基本圖形.涉及中點問題聯想到有關定理，就很容易解決問題，從而達到學習的目的.

（責任編輯 黃春香）