例談“對(duì)稱”在高中物理解題中的應(yīng)用

尤從業(yè)

從近幾年高考試題來(lái)看，試題更加注重對(duì)物理思想、物理方法的考查。運(yùn)用“對(duì)稱思維方法”分析和解答物理問(wèn)題，往往可以避免繁冗的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，一下子抓住問(wèn)題的物理本質(zhì)，使分析問(wèn)題的思路變得清晰，解決問(wèn)題的步驟變得簡(jiǎn)捷。下面舉例說(shuō)明對(duì)稱法在物理解題中的具體應(yīng)用。

一、對(duì)稱在電荷分布問(wèn)題中的應(yīng)用

【例1】 均勻帶電的球殼，在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)。如圖1所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過(guò)半球頂點(diǎn)與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點(diǎn)，OM=ON=2R。已知M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為（ ）。

A.kq2R2-E

B.kq4R2

C.kq4R2-E

D.kq4R2+E

解析：分布著正電荷的左半球面AB產(chǎn)生的電場(chǎng)等效為分布著正電荷的整個(gè)球面產(chǎn)生的電場(chǎng)和帶負(fù)電荷的右半球面產(chǎn)生的電場(chǎng)的矢量合E=k2q（2R）2-E′，帶負(fù)電荷的右半球面在M點(diǎn)的電場(chǎng)與帶正電荷的左半球面AB在N點(diǎn)的電場(chǎng)大小相等E′=k2q（2R）2-E=k2q4R2-E

，故A正確。本題中電荷分布本身不具有對(duì)稱性，但經(jīng)過(guò)分析，可以通過(guò)合理的假設(shè)和變換，把問(wèn)題化為對(duì)稱性問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的處理過(guò)程。

二、對(duì)稱在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的運(yùn)用

【例2】 一人在離地H高度處，以相同的速率v0同時(shí)拋出兩小球A和B，A被豎直上拋，B被豎直下拋，兩球落地時(shí)間差為Δt s，求速率v0.

解析：對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其上拋后再落回拋出點(diǎn)時(shí)，由于速度對(duì)稱，向下的速度仍為v0，所以A球在拋出點(diǎn)以下的運(yùn)動(dòng)和B球完全相同，落地時(shí)間亦相同，因此，Δt就是A球在拋出點(diǎn)以上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間對(duì)稱， Δt=2v0g，

所以v0=gΔt2。

三、對(duì)稱在電路中的運(yùn)用

【例3】 用材料相同的金屬棒，構(gòu)成一個(gè)正四面體如圖2所示，如果每根金屬棒的電阻都為r，求A、B兩端的電阻R。

解析：從整個(gè)電路的對(duì)稱性出發(fā)， C、D兩點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)，因此這兩點(diǎn)為等勢(shì)點(diǎn)，即C、D間無(wú)電流通過(guò)，所以可將C、D斷開，其等效電路如圖3所示，顯然R=r2，C、D兩點(diǎn)為等電勢(shì)點(diǎn)。在一些具有對(duì)稱性的特殊電路中，很容易發(fā)現(xiàn)，凡是對(duì)稱點(diǎn)都可能是等勢(shì)點(diǎn)。 如果已確定是等勢(shì)點(diǎn)， 那么就可以斷定等勢(shì)點(diǎn)間無(wú)電流通過(guò)，而連接在等勢(shì)點(diǎn)間的導(dǎo)體或元器件也就不起什么作用了。據(jù)此，可將對(duì)應(yīng)等勢(shì)點(diǎn)間的導(dǎo)體或元器件撤銷或斷路。按照這種方法把電路簡(jiǎn)化后，一個(gè)復(fù)雜的電路問(wèn)題就化為一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題了。

四、對(duì)稱在碰撞中的運(yùn)用

【例4】 沿水平方向向一堵豎直光滑墻壁拋出一彈性小球，拋出點(diǎn)離水平地面的高度為h，距離墻壁的水平距離為s，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點(diǎn)離墻壁的水平距離為2s，如圖4所示，求小球拋出時(shí)的初速度.

解析：如圖5，因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞，故小球在垂直于墻壁的方向上以速率v0彈回，故碰撞前后，小球在垂直于墻壁方向上的速率為v⊥=v⊥′=v0.在平行墻壁的方向上，因墻壁光滑，碰撞前、后的速率不變，即v∥=v∥′，從而使小球與墻壁碰撞前、后的速率對(duì)墻壁對(duì)稱，即∠β=∠α，碰撞后小球的運(yùn)動(dòng)軌跡與無(wú)墻阻擋時(shí)小球繼續(xù)前進(jìn)的軌跡對(duì)稱，如圖5所示，所以小球的運(yùn)動(dòng)可以轉(zhuǎn)換成平拋運(yùn)動(dòng)處理.根據(jù)h=12gt2得t=

2hg，因?yàn)閽伋鳇c(diǎn)到B′的距離為3s，所以3s=v0t，v0=3st =3sg2h=3s2h2gh。

總之，對(duì)稱性普遍存在于各種物理現(xiàn)象、過(guò)程和規(guī)律之中，它反映了物理世界的和諧與優(yōu)美。如果在教學(xué)過(guò)程中，利用對(duì)稱性來(lái)解決一些疑難問(wèn)題，定會(huì)提高學(xué)生解決物理問(wèn)題的效率，收到極好的效果。

（責(zé)任編輯 易志毅）