例談排列組合問題的常用解法

谷佳文

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，排列組合是比較重要的部分，但是排列組合這部分的習(xí)題不容易找到規(guī)律，如果學(xué)生不夠仔細(xì)，很容易出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來說一直是一個(gè)難點(diǎn).所以教師應(yīng)該在教學(xué)的過程中總結(jié)一些比較適用的解題方法，教會(huì)學(xué)生遇到不同類型的排列組合題目應(yīng)該怎樣思考，幫助學(xué)生學(xué)好排列組合方面的內(nèi)容.

一、 解排列組合問題應(yīng)注意的問題

在進(jìn)行排列組合這部分問題的求解過程中，教師應(yīng)該提醒學(xué)生注意一些在解題中經(jīng)常容易出現(xiàn)的問題.

首先，要讓學(xué)生先弄明白是要分類計(jì)算還是要分步計(jì)算.如果采用分類計(jì)算方式，那么所有類別之間必須是相互獨(dú)立沒有任何交集的，否則不能采用分類計(jì)數(shù)法進(jìn)行解題.而對(duì)于分步計(jì)數(shù)的解題方法來說，每個(gè)步驟之間應(yīng)該是互不干擾的，并且要求學(xué)生必須嚴(yán)格遵守解題的步驟，一步一步認(rèn)真地進(jìn)行計(jì)算，這樣才能避免解題中的錯(cuò)誤.

其次，在解決排列組合問題時(shí)，大多是先組合后排列，先對(duì)題目中的對(duì)象進(jìn)行分類組合，然后再分步進(jìn)行排列的計(jì)算，這樣一步一步地進(jìn)行，層次鮮明，不容易遺漏.

最后，教師應(yīng)該讓學(xué)生明確排列組合的概念和含義，讓學(xué)生明確排列組合的公式是進(jìn)行解題的基礎(chǔ)，只有掌握好基礎(chǔ)的問題，才能在解題的時(shí)候做到快速準(zhǔn)確.

二、排列組合問題的常用解法

1. 捆綁法.

捆綁法就是將一些元素當(dāng)成一個(gè)整體，然后進(jìn)行排列組合，這是數(shù)學(xué)中整體思想的一個(gè)良好體現(xiàn).

例如：現(xiàn)有A、B、C、D、E五名同學(xué)，讓這五名同學(xué)排成一排，如果規(guī)定A與B必須相鄰，且B在A的右邊，那么請(qǐng)問有多少種不同的排法.

解析：本題中對(duì)A與B兩個(gè)同學(xué)的位置有要求，那么我們先將這兩個(gè)同學(xué)看成一個(gè)整體，然后與其他三名同學(xué)進(jìn)行排列，這樣就很容易得出相應(yīng)的結(jié)果.這就是捆綁法在習(xí)題中的運(yùn)用，可以幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確地進(jìn)行解題.

2.特殊元素優(yōu)先法.

在排列組合問題中，總會(huì)出現(xiàn)一些十分特殊的元素，對(duì)于這一類排列組合問題，我們應(yīng)該先解決特殊的部分，當(dāng)特殊的元素確定之后，再進(jìn)行一般部分的求解.

例如：現(xiàn)在1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè).（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位；（2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位.

解析：首先我們先看第一小問，這一問比較簡(jiǎn)單，由于數(shù)字1不能在個(gè)位和千位，所以個(gè)位和千位分別有五種選法，然后運(yùn)用乘法原理可知答案為240.而第二問就要用到特殊元素優(yōu)先法，先將千位和個(gè)位確定好，然后再確定十位和百位，最后結(jié)果為252.

3.插空法.

插空法在排列組合中的應(yīng)用，大多是用于解決某幾個(gè)元素不相鄰的問題，對(duì)于這類問題，我們就可以先將不相鄰的元素進(jìn)行排列，然后將其他元素插入空中，讓問題變得更容易.

例如：一臺(tái)晚會(huì)，原本有八個(gè)節(jié)目，但是在晚會(huì)開始之前，要臨時(shí)在成績(jī)單中加入兩個(gè)節(jié)目，而且要保持原來的節(jié)目順序不發(fā)生變化，請(qǐng)問有多少種排列方法.

解析：這是一道典型的運(yùn)用插空法的排列組合問題，原有八個(gè)節(jié)目，那么就相當(dāng)于有九個(gè)空，當(dāng)插入一個(gè)節(jié)目后，就變成有十個(gè)空，第二個(gè)節(jié)目可以任意插在這十個(gè)空中，這樣就很容易得出最后的答案了.

4.插板法.

在排列組合中經(jīng)常會(huì)遇到一些指標(biāo)的分配、求不定方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)的問題，在這類問題中我們可以運(yùn)用插入隔板的方法進(jìn)行解題.

例如：某學(xué)校要組建一支籃球隊(duì)，需要選拔十二名隊(duì)員，這個(gè)學(xué)校有八個(gè)班級(jí)，要求每個(gè)班級(jí)至少選出一人加入籃球隊(duì)，那么請(qǐng)問有多少種選拔方法？

解析：這道題的實(shí)質(zhì)就是將十二個(gè)名額分給八個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少得到一個(gè)名額，那么十二個(gè)名額就相當(dāng)于有十一個(gè)空，需要在這十一個(gè)空中插入七塊木板，木板有多少種插法，名額就有多少種分配方法.

5.間接法.

在排列組合問題中經(jīng)常見到“至多”“恰好”這一類的字眼，對(duì)于這樣的問題，如果直接根據(jù)題意進(jìn)行求解，比較復(fù)雜，那么就可以從相反的方面進(jìn)行解題，然后再從總體中減去這一部分，就可以得出相應(yīng)的結(jié)果.

例如：某村要從村里的十名大學(xué)生中選出三人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，已知甲、乙至少有一人當(dāng)選，而丙沒有入選，那么請(qǐng)問有多少種不同的選法.

解析：由于題目中說明丙沒有入選，那么這道題就可以轉(zhuǎn)化成在九名大學(xué)生中選擇三人，而甲乙至少有一人入選，如果直接計(jì)算，則要考慮的方面較多，那么我們就可以采用間接方法計(jì)算，先算出甲乙都沒有入選有多少種選法，以及如果沒有任何要求，有多少種選法，用后者減去前者，就是本題的答案.

三、結(jié)語

雖然排列組合問題是學(xué)生學(xué)習(xí)生活中的一個(gè)難點(diǎn)，但是只要教師在教學(xué)過程中能夠善于總結(jié)解題方法，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)這些解題技巧，那么相信排列組合就會(huì)變得相對(duì)簡(jiǎn)單，不會(huì)讓學(xué)生感到太復(fù)雜.

（責(zé)任編輯 黃春香）