例談高中數學中的構造法

李杰

《普通高中數學課程標準》（實驗）指出：“高中數學新課程應力求通過各種不同形式的自主學習、研究活動，讓學生體驗數學發現和創造歷程、發展他們的創新意識.”因此，數學教育不應是簡單地如何把知識傳授給學生，更重要的是如何培養學生的創造性思維以及鍛煉學生具有解決問題的強大的頭腦.也就是說數學教育注重學生的數學精神、數學思想的培養.日本數學教育家米山國藏所說：“學生們在初中、高中等接受的數學知識，因畢業進入社會幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，通常是出校門不到兩年，很快就忘掉了.然而不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數學精神、數學思想方法、研究方法、推理方法和著眼點（若培養了的話）卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身.”

因此，數學教育的目的是通過數學知識的傳授使學生真正掌握解決數學問題的方法與思想.在各種各樣解決數學問題的思想方法中，構造法便是其中的一種.所謂構造法是指根據數學題設條件，給予題中涉及的公式、概念及數學關系賦予恰當的實際意義，構造數學模型，謀求解決數學的方法、途徑.作為傳統的解決問題的方法之一的構造法，在實際教學中有著兩個主要問題困擾著教師：一是構造法本身的問題.由于構造法具有連接各個分支的功能，要求學習者能根據題目中的條件、題設構造出數學模型，因此，具有難度大、規律性不易尋找的特點；二是實際教學中的問題.由于高中數學處在整個初等數學的末端，抽象性、概括性比較強.并且由于面臨升學的壓力，教學中，教師常常是以自己的講解代表這個教學過程，學生在這個教學中處在消極、被動的地位.學生不能或很少經歷如何通過構造思想對所學知識進行構造的過程.基于上述兩個問題，為了幫助教師真正應用構造法進行教學，引導學生利用構造法解決問題，現筆者介紹幾種常見的構造法.

一、 背景構造

通過對數學問題的分析，合理巧妙地構造問題的情境，展現問題的真實背景，可以使所要解決的問題巧妙、獨特被解決，使學生深刻感受到數學問題所隱含的數學思想.這是一種比較高級的數學思維，要求學生具有開放的思維和敏銳的洞察力.

案例1：已知：a

分析：|x-a|的幾何意義是，在數軸上表示兩數x與a之間的距離.因此要求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值就是要求在數軸上找一點x，使其到a，b，c的距離之和最短.所以，當x取在b以外的地方時，三條線段|x-a|，|x-b|，|x-c|都有重疊部分，所以當x取在b點時|x-a|+|x-b|+|x-c|有最小值，最小值為c-a.你看這種方法多好啊！你說沒有敏銳的洞察力能運用這么好的方法解決這個問題嗎？

二、拓展構造

教師通常是依據教材進行教學的，但一位好的教師并不是把教材從頭到尾教一遍，而是把教材作為教學的橋梁，通過對教材的前后思考，理清知識之間的聯系，恰當提出問題，引導學生參與到對所學問題的討論中.通過學生的自主或合作交流等，引導學生歸納出隱含在問題中的結論.通過對舊知識的拓展研究，使學生學到了新的知識，提升了能力.例如，通過對平面向量的相關知識的研究，可以得出空間的相關知識；而利用橢圓研究方法來研究雙曲線、拋物線，會使學生不自覺地掌握了新的知識等，達到新的教育理念的要求.

三、數形構造

數形結合思想是數學中的重要思想之一.數學研究總是圍著數與形進行的.如果單純利用數學中的數量關系解決問題可能會因過于復雜而走投無路，而從由數量關系所表示的幾何圖形方面進行研究，很多時候會呈現柳暗花明的感覺.

五、聯想構造

學會聯想是學好數學的優秀品質之一，通過聯想學

生可以發現知識之間的聯系，從而構造出新的知識所需的數學模型.這需要教師對不同知識進行分析，剖析其隱含的相同點，即教師能夠從題目中的題設、條件出發，依據題目的特點聯想到處理問題的其他形式，使問題得于解決.例如，利用相關點代入法求函數關于點或者線的對稱，聯想到用同樣的解題思想解決圓錐曲線關于點、線的對稱圖形的方程；三角函數中利用同樣思想引導出角的誘導公式；在矩陣內容中可以解決函數圖像在矩陣變換下的圖形解析式問題等.再如，在研究函數知識時常常構造新函數：如遇見f（x）+xf′（x）的函數形式通常構造函數F（x）=xf（x），這時問題就轉化為利用條件研究函數F（x）的相關知識，同樣如遇見f（x）-xf′（x）的函數形式一般構造函數F（x）=xf（x）ex

.這樣的例子在數學教學中太多了，在這就不一一列舉了.如果教師在教學中注意到這點，學生就會感受到新舊知識之間的聯系，就不會對學習數學感到懼怕，從而調動學生學習數學的極大熱情.

六、反例構造

在判斷數學命題的真假時，我們不應只是用直接方法進行判斷，有些數學問題涉及“不是”“無限”“至少”“至多”等時，利用直接法證明有時比較困難，而結論的反向比較明確，像這種情況通常選取反證的方法進行構造.

五、聯想構造

學會聯想是學好數學的優秀品質之一，通過聯想學

生可以發現知識之間的聯系，從而構造出新的知識所需的數學模型.這需要教師對不同知識進行分析，剖析其隱含的相同點，即教師能夠從題目中的題設、條件出發，依據題目的特點聯想到處理問題的其他形式，使問題得于解決.例如，利用相關點代入法求函數關于點或者線的對稱，聯想到用同樣的解題思想解決圓錐曲線關于點、線的對稱圖形的方程；三角函數中利用同樣思想引導出角的誘導公式；在矩陣內容中可以解決函數圖像在矩陣變換下的圖形解析式問題等.再如，在研究函數知識時常常構造新函數：如遇見f（x）+xf′（x）的函數形式通常構造函數F（x）=xf（x），這時問題就轉化為利用條件研究函數F（x）的相關知識，同樣如遇見f（x）-xf′（x）的函數形式一般構造函數F（x）=xf（x）ex

.這樣的例子在數學教學中太多了，在這就不一一列舉了.如果教師在教學中注意到這點，學生就會感受到新舊知識之間的聯系，就不會對學習數學感到懼怕，從而調動學生學習數學的極大熱情.

六、反例構造

在判斷數學命題的真假時，我們不應只是用直接方法進行判斷，有些數學問題涉及“不是”“無限”“至少”“至多”等時，利用直接法證明有時比較困難，而結論的反向比較明確，像這種情況通常選取反證的方法進行構造.