分類思想在初中數學教學中的運用

殷志琴

數學思維是數學學習的重要組成部分，用以實現數學探究、猜想、轉化等思想方法.近年來，在初中數學教學中培養學生良好的思維品質，是每一位數學教師積極探索、努力踐行的方向，也是符合新課改標準、推行素質教育的有效途徑.

數學分類思想，是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想.它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法.

在初中數學教學中分類討論的思想貫穿始終，應用分類討論的思想解決數學問題能起到事半功倍的效果，對學生高效解決問題帶來極大的方便.而分類的過程又能充分培養學生思考問題的嚴謹性和提升學生對數學規律的探索能力.

一、滲透分類思想，養成分類的意識

教師要充分利用學生原有的分類知識和分類能力，把它正向遷移到數學教學、學習中來，形成分類思想的有效滲透.

初一年級的數學就對數域進行了擴充.根據實際生產、生活的需要，以及學生在小學學過正數和零的基礎，以0下的氣溫、存取錢、水位的上升和下降等實際問題引入負數，從而將數的范圍擴充到有理數，這時就要引導學生對有理數進行分類，這也是學生在初中階段首次體驗分類思想，并充分感受到分類標準不同，就有不同的分類方法.例如，可以按有理數的定義分類，分為整數和分數；可以按有理數的性質符號分類，分為正數、零、負數；也可以按小數分類，分為有限小數、無限循環小數.通過絕對值的知識也能很好地滲透分類思想.通過數形結合的思想讓學生體驗絕對值的意義，即一個有理數在數軸上對應的點到原點的距離就是這個數的絕對值，這里重點領悟 “點與點之間的距離”，讓學生明白絕對值——距離——非負數之間的聯系和滲透，從而產生給有理數的絕對值分類的意識，即“正數的絕對值等于它本身；零的絕對值是零；負數的絕對值等于它的相反數”，形成恰當的分類方式.在學習用式表示數后，又可對式進行分類，即整式分為單項式和多項式，通過對單項式、多項式的學習為后繼整式加減的學習打下基礎.

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答，掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在.

1.根據數學的概念進行分類

學習三角形的外心知識時，要根據三角形的形狀分類討論三角形外心與三角形的位置關系：銳角三角形外心在三角形內部；直角三角形外心在斜邊的中點處；鈍角三角形外心在三角形的外部.這些分類要通過學生親自尺規作圖來感受，讓學生自主形成良好的分類意識.

在直線和圓的位置關系的學習中，我們是根據直線與圓的公共點的個數來進行分類的：當直線與圓沒有交點時叫做直線與圓相離；當直線與圓有且只有一個公共點時，叫做直線與圓相切；當直線與圓有兩個公共點時叫直線與圓相交.

在學習圓周角定理證明時，可根據圓心與圓周角的位置不同分別討論，如圓周角的一條邊經過圓心時，這種情況比較特殊也容易證明，在這種特殊情況下證得結論，即“同弧所對的圓周角是該弧所對圓心角的一半”，再將這種方法遷移到圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部時的證明上，也就是通過作直徑達到化繁為簡、化難為易的目的.這也是分類思想在定理證明中的重要體現.

三、 引導分類討論，提高合理解題的能力

近年來中考命題最后一個壓軸題綜合性較強，尤其第三個問題一般都是開放式的，內容涉及二次函數、解直角三角形、圓、一元二次方程、三角形的相似等重要知識.因此教學中要讓學生認識到分類的重要意義，讓學生學會將一些綜合復雜的問題進行正確的分類，提煉出清晰的解題思路.

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是在代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內解決問題；其二是根據幾何圖形的點和線出現的不同位置的情況，逐一討論解決問題.

五、分類討論要注意的問題

1.熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰與角以及圓的對稱性，根據圖形的特殊性質，找準討論對象，逐一解決.在探討等腰或直角三角形存在時，一定要按照一定的原則，不要遺漏，最后要綜合.

2.討論點的位置，一定要看清點所在的范圍，是在直線上，還是在射線或者線段上.

3.圖形的對應關系多涉及三角形的全等或相似問題，對其中可能出現的有關角、邊的可能對應情況加以分類討論.

4.代數式變形中如果有絕對值、平方時，里面的數開出來要注意正負號的取舍.

5.考查點的取值情況或范圍.這部分多是考查自變量的取值范圍的分類，解題中應注意性質、定理的使用條件及范圍.

6.函數題目中如果說函數圖象與坐標軸有交點，那么一定要討論這個交點是和哪一個坐標軸的哪一半軸的交點.

7.由動點問題引出的函數關系，當運動方式改變后（比如從一條線段移動到另一條線段），所寫的函數式應該進行分段討論.

實踐證明，在現有教材的教學中著力滲透分類的數學思想，幫助學生掌握正確分類的思想方法，并結合其他數學思想方法，就能啟發學生的探究性思維，提高學生的數學素養，培養學生濃厚的數學學習興趣

（責任編輯 金 鈴）