高等數學教學中引入典型應用性例題的嘗試與探討

申艷

摘要：目前，后續專業課對高等數學的要求越來越高。引入典型應用性例題既能加深學生對數學概念、公式、定理的理解，又能將數學知識與專業知識有機結合。這種教學方法不僅能提高學生的抽象思維能力、應用能力，而且能激發學生的學習興趣和創新意識，是常規教學方法的一種改進和提高。

關鍵詞：典型應用性例題；專業知識；有機結合；探討

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）09-0035-03

一、現狀情況分析

高等數學不僅是絕大多數理工科專業構建知識體系的基石，也是部分高校文科類專業的必修課。高等數學的概念方法、理論知識既是學生學習后續專業課程的重要工具，也是培養學生創新能力的重要途徑。但是隨著近些年來高校招生規模的不斷擴大，入學新生基礎參差不齊，后續專業課對數學的要求又相對較高，高等數學教學面臨著越來越大的挑戰。面對這些新的情況，如何確保并不斷提高高等數學的教學質量，如何將高等數學與專業課有機結合，這些都成為高校教師關心和探討的焦點問題。為了了解學生對目前高數教學中例題設置的合理性以及與專業課程學習的相關性，我們利用課間時間對學生進行了抽樣調查，結果顯示，60%左右的學生認為目前高數教學中例題設置很少與專業掛鉤，以至于認為所學專業以后使用數學的地方不是很多，缺乏學習的動力；也有相當多的學生認為目前例題的設置偏重理論性論證，缺乏實用性，對數學產生畏難情緒，認為數學枯燥無味。顯然，這一現狀與高等學校工科數學課程指導委員會提出的：“基礎理論教學以必需、夠用為度；以掌握概念、強化應用為教學重點，盡量減少數理論證，加強理論應用”的要求是不相吻合的，也反映出目前高數教學中例題選擇的側重點已不太適應專業化、應用型人才的培養需求。就教師方面而言，大部分教師考慮更多的是鉆研教材、設計教法，將教材知識講透徹即可。在典型例題的設置上，很少有教師會考慮到不同學科專業的針對性，這個現象引起了我們的注意。誠然，強調重點難點，實現教學目標，這是課堂教學主要的任務?？墒?，面對一群不同專業背景的學生，我們的教學目地要從傳授知識向培養學生的能力轉變，怎樣將數學知識更好地融入專業課程，也是我們應該著重考慮的。

二、前期準備工作

1.對學生加強高等數學課程重要性的介紹。在每學期開始，都需要向學生介紹高等數學課程的重要性以及與后續課程的相關性。使學生認識到數學的重要性，進一步培養他們學習數學的興趣，最終能夠有意識地自主利用數學知識解決實際問題。

2.不同專業的高數授課老師應相對穩定，結合專業編寫典型應用性例題庫。不同的專業對高數課程的需要不同，不同的學生對高數課程的掌握程度也不同。作為教師，不僅要對自己的學生有所了解，也要對他們所學的專業和將來的發展方向有所了解，這樣才能知道哪些數學知識對他們的后續課程的學習以及將來的工作有用，從而加以重點講授。有針對性地選擇與該專業相關的典型應用性例題，激發學生的學習興趣和創新意識，加強高等數學相關知識與后續課程的銜接。

針對不同的系或專業，安排專門教師負責該專業的高等數學教學工作。在教學過程中不斷加強與院系教師的交流，針對不同專業隨時修改和完善典型應用性例題庫，調整教學內容，讓高等數學課程為后續課程提供堅實的理論基礎與思想方法。

3.典型應用性例題既要加深學生對數學概念、公式、定理的理解，又要將數學知識與專業知識有機結合。例題的教學是整個高數課堂的一個重要組成部分，是數學教學活動中最基本、最重要的教學形式。但是對例題的講解只是照本宣科，沒有任何課外的補充，與專業毫無關聯，學生會毫無興致，覺得數學枯燥無味。因此有意識地引用與所學專業相關的應用性典型例題，對提高學生的學習興趣，對學生掌握知識和能力培養，能收到事半功倍的良好效果。

為了達到上述目的，首先，我們要分析現有高等數學教學中典型應用例題教學中存在的問題與不足；其次我們再收集、分析、整理各學科中既能加深學生對數學概念、公式、定理的理解，又能將數學知識與專業知識完美結合的典型應用例題，并歸納成冊；最后將它們應用到相關專業的教學中，并不斷總結，日臻完善。

三、研究方法探討

1.在數學概念及定義教學中引入典型應用性例題提高學生的抽象思維能力。就數學概念而言，幾乎沒有憑空臆造的，都是從大量實際問題中歸納、抽象而成的。要想很好地理解和掌握數學概念必須遵循從表象到實質、從具體到抽象、從特殊到一般的規律。通過這個過程，學生才能感受到數學概念在客觀世界中代表的實際含義，同時他們也能深刻體會到數學知識來源于客觀實際最終又在解決實際問題中得以應用。數學教師在引入數學概念之前可以舉幾個與專業聯系緊密的實例，豐富學生的感性認識。然后撇開這些實例的具體意義，抓住它們在數量關系上的共性，就能抽象出相應的數學概念。這樣講授數學概念，學生容易理解接受，也能深切感受到數學知識對專業學習的重要性。例如，在給通信工程、氣象學、氣候學、地理信息系統等專業的學生講授方向導數及梯度的概念時，可通過這樣一個例子引入。設有一座小山，取它的底面所在的平面為“xoy”坐標面，其底部所占的閉區域為D=（x，y）x2+y2-xy≤75，小山的高度函數為h=fx，y=75-x2-y2+xy.現欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳找一上山坡度最大的點作為攀巖的起點，試確定攀巖起點的位置。教師可以引導學生從感性認識“坡度”抽象出“方向導數”的概念。從“最大坡度方向”即方向導數最大的方向抽象出“梯度”的概念。當學生很好地理解了方向導數及梯度的概念時，這個實際問題就容易解決了。

2.在數學定理、公式教學中引入典型應用性例題提高學生的應用能力。人類對客觀世界的不斷認識產生了一些理論，但正確的理論必須經得起實踐的檢驗。理論只有與實際緊密相聯系才能體現它的真正價值和意義。遺憾的是許多數學教師在講解數學定理、公式時過多地追求嚴格的邏輯證明，忽略了數學的實用性，一般不引用與其他專業和學科相關的典型實例。在這種教學理念下，高等數學課堂上出現的現象是，數學教師連篇累牘地推導著冗長煩瑣的理論，而學生卻感到數學深奧難測，無所適從。因為失去了感性認識的基礎，直接跨入理性認識，學生自然會感到理解困難。其實數學與很多學科之間是相輔相成的，許多學科研究會運用到數學的理論和方法；反過來，其他學科研究的過程及結果也會引導和促進數學學科的發展。因此在講解數學定理、公式之前或之后，很有必要引入一些與所教專業相關的典型應用性例題，這種理論聯系實際的教學方法可以加深學生對數學知識的理解，也是學生容易接受的。例如，在給經濟管理、市場營銷、電子商務等專業的學生講授二元函數取極值的必要條件時，有定理：設函數z=fx，y在點x0，y0具有偏導數，且在點x0，y0處有極值，則有fxx0，y0=0，fyx0，y0=0.對于這樣一個抽象的定理，可以采用下面這個實例讓學生在感性認識的基礎上學以致用。某廠家生產的一種產品同時在兩個市場銷售，售價分別為：p1和p2銷售量分別q1和q2，需求函數分別為：q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2總成本函數為：C=35+40（q1+q2），試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？解法如下：總利潤函數為L=p1q1+p2q2-C=32p1-0.2p12-0.05p22+12p2-1395.由極值的必要條件，得方程組：？墜L？墜P1=32-0.4P1=0？墜L？墜P2=12-

0.1P2=0解此方程組，得p1=80，p2=120由問題的實際意義可知，廠家獲得總利潤最大的市場售價必定存在，故當p1=80，p2=120時，廠家獲得的總利潤最大，其最大利潤為L=6053.

3.在專題講座及選修課中引入典型應用性例題激發學生的學習興趣和創新意識。針對某些專業，如計算機、自動化、通信工程等開設的專業課程《數據挖掘》、《數字信號處理》等，以及作為高校公共課的《復變函數》、《概率論與數理統計》等，都大量的用到了一元廣義積分、重積分、廣義二重積分、級數等內容。而這些內容在高等數學課程中要求較低并且學生在學習過程中也常常忽略這部分內容的學習，導致學生學習后掌握不好或對這部分知識印象不深刻。為解決這類問題，可以增設選修課程或講座專題并引入典型應用性例題等方式激發學生的學習興趣和創新意識，加強高等數學相關知識與后續課程的銜接。

四、總結與展望

典型應用性例題能夠在高等數學教學中發揮重要作用，促進學生愛學數學，會學數學，善用數學。在高等數學的教學中，教師要善于利用典型應用性例題來調動廣大學生的學習數學的積極性，提高課堂教學效果，為培養高素質、高技能的創新型人才奠定堅實的基礎。

高等數學典型應用性例題的教學是一種新的教學模式，雖然受到學生的歡迎，但也有一定的局限性。首先，既適合數學教學又與專業相關的例題搜集起來比較困難。其次，講解典型應用性例題對教師的要求較高，可有時效率卻不高。因此，在高等數學教學中開展典型應用性例題的教學，還需要更多的嘗試和探討。但是，它作為一種有意于學生今后發展的教學模式，是對常規教學的一種改進和提高。

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基金項目：本文得到天津理工大學教學基金項目（YB10-45）的支持