高中數學恒成立問題的求解策略

肖常定

摘 要： 對于恒成立問題，一些學生經常是束手無策，不知道從哪里下手，找不到問題的突破口，因而感覺十分困難.如果運用方程和函數思想，采用換元、化歸、數形結合的思想方法，其實恒成立問題是不難解決的.恒成立問題有利于考查學生的綜合解題能力，也是歷年高考的一個熱點.本文就高中數學恒成立問題的求解策略作一些歸納和總結，以饗讀者.

關鍵詞： 高中數學 恒成立問題 思想方法 求解策略

一、二次函數型——利用“判別式△”求解

1.不等式ax■+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要條件是：a>0△=b■-4ac<0

2.不等式ax■+bx+c<0（a≠0）恒成立的充要條件是：a<0△=b■-4ac<0

若條件中的不等式含“=”號，則將上述條件中的△<0改為△≤0即可.

3.二次函數在指定區間上的恒成立問題，可以利用韋達定理及根的實根分布知識求解.

例1：不等式（m■-1）x■+2（m-1）x-1≤0對任意x∈R都成立，求實數m的值.

解：當m■-1=0即m=±1時，分別代入已知不等式，知m=1符合題意；

當m■-1≠0時，由題意可得m■-1<0△=4（m-1）■+4（m■-1）■≤0，解得0≤m<1.

綜上可得，實數m的取值范圍是0≤m≤1.

例2：已知函數f（x）=x■+ax+3-a，若x∈[-2，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析：要使x∈[-2，2]時，f（x）≥0恒成立，只需f（x）的最小值g（a）≥0即可.

解：f（x）=（x+■）■-■-a+3，令f（x）在[-2，2]上的最小值為g（a）.

（1）當-■<-2，即a>4時，g（a）=f（-2）=7-3a≥0，∴a≤■，又a>4，

∴a不存在.

（2）當-2≤-■≤2，即-4≤a≤4時，g（a）=f（-■）=-■-a+3≥0，

∴-6≤a≤2，又∵-4≤a≤4，∴-4≤a≤2.

（3）當-■>2，即a<-4時，g（a）=f（2）=7+a≥0，∴a≥-7，又a<-4，

∴-7≤a<-4，

綜上所述，a∈[-7，2].

說明：此題屬于含參數的二次函數最值問題，且屬于軸變區間定的情形，應對軸與區間的位置進行分類討論；還有與其相反的，軸動區間定的情形，方法類似.

二、利用“特殊值”求解

等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對選擇題、填空題能很快求得結果.

例3：如果函數f（x）=sin2x+acos2x的圖像關于直線對稱x=-■，那么a=（？搖？搖？搖？搖）

（A）1？搖？搖？搖？搖（B）-1？搖？搖？搖？搖（C）■？搖？搖？搖？搖（D）-■

解：取x=0及x=-■，則f（0）=f（-■），即a=-1，故選B.

三、利用“主元”求解

在錯綜復雜的各種矛盾中，抓住了主要矛盾，就猶如抓住了一根主線，從而使次要矛盾迎刃而解.同樣地，在數學問題中，由于多變元的干擾，常會使學生思維的頭緒，陷入眾多繁復的岔道中，剪不清，理還亂，而如若分清主次，抓住主元，則猶如抓住一根主線，一目了然.

例4：對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x■+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍.

分析：在不等式中出現了兩個字母x和p，關鍵在于把哪個字母看成變量，另一個作為常數.因為p的范圍已知，故本題可將p視為自變量，上述問題即轉化為在[-2，2]上關于的一次函數大于0恒成立的問題.

解：不等式即（x-1）p+x■-2x+1>0，設f（p）=（x-1）p+x■-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有

f（-2）>0f（x）>0？圯x■-4x+3>0x■-1>0？圯x>3或x<1x>1或x<-1？圯x<-1或x>3，

即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

說明：此類題實質上是利用一次函數在區間[m，n]上的圖象是一條線段，故只需保證該線段兩個端點均在軸上方（或下方）即可.

四、利用“分離變量”求解

若對定義域內的任何一個數都有f（x）>g（a）恒成立，則g（a）f（x）■，反之亦然.

例5：已知x∈R時，不等式m+cos■x<3+2sinx+■恒成立，求實數m的取值范圍.

解：原不等式等價于：m-■

令f（x）=sin■x+2sinx+2=（sinx+1）■+1

當sinx=-1時，f（x）■=1.

依題意：m-■<1，即m-1<■.

∴m-1≥0（m-1）■<2m+1或m-1<02m+1≥0

解得1≤m<4或-■≤m<1，即-■≤m<4.

∴實數m的取值范圍是-■≤m<4.

五、利用“圖形”，直觀求解

若把等式或不等式進行合理變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖像，則可以通過畫圖，直觀判斷得出結果.尤其對選擇題、填空題，這種方法更方便、快捷.

例6：已知a>0且a≠1，當x∈（-1，1）時，不等式x■-a■<■恒成立，求a的取值范圍.

解：不等式x■-a■<■可化為a■>x■-■

畫出函數y=a■與y=x■-■的圖像，如圖1所示：

圖1

由圖1可知■≤a<1或1

例7：如果對任意實數，不等式|x+1|≥kx恒成立，求a的取值范圍.

圖2

解：畫出函數y=|x+1|與y=kx的圖像（如圖2所示），由圖2可知0≤k≤1.

參考文獻：

[1]劉玉文.含參不等式恒成立問題的幾種解法.高中數學教與學，2012，（9）.

[2]聶星.高中數學中不等式恒成立問題常見的處理方法.數理化學習，2010（12）.