《數(shù)值計(jì)算方法》教學(xué)中的MATLAB應(yīng)用研究初探

摘要：《數(shù)值計(jì)算方法》是高等理工科院校的重要基礎(chǔ)課程，本文結(jié)合課程的教學(xué)實(shí)踐，給出了如何把MATLAB應(yīng)用在數(shù)值計(jì)算方法教學(xué)中的一些見(jiàn)解。利用MATLAB的計(jì)算功能、繪圖功能和動(dòng)態(tài)演示功能，把復(fù)雜的算法理論用圖形、動(dòng)畫(huà)的形式體現(xiàn)出來(lái)，活躍了課堂氣氛，增大了學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的興趣。

關(guān)鍵詞：《數(shù)值計(jì)算方法》；MATLAB；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）37-0050-02

一、引言

數(shù)值計(jì)算方法又稱數(shù)值分析，是研究適合計(jì)算機(jī)求解的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的近似方法及其理論。它的內(nèi)容包括函數(shù)逼近、數(shù)值微分與積分、非線性方程（組）的數(shù)值解、數(shù)值代數(shù)、常微分與偏微分方程數(shù)值解等。這門(mén)課程起著承上啟下的作用，承上是使線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)中的原理得以應(yīng)用，方法得以實(shí)現(xiàn)，啟下是為后續(xù)課程中數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模和求解提供方法，是高等理工科院校的重要基礎(chǔ)課程。如今，數(shù)值計(jì)算、理論研究及物理實(shí)驗(yàn)并列成為當(dāng)今世界科學(xué)活動(dòng)的三種主要方式。為眾多的科學(xué)與工程問(wèn)題提供計(jì)算方法，提高計(jì)算的可靠性、有效性和精確性，是《數(shù)值計(jì)算方法》這門(mén)課程研究的主要內(nèi)容。在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中體會(huì)到在《數(shù)值計(jì)算方法》課程中做好理論內(nèi)容的傳授和學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)這兩個(gè)環(huán)節(jié)非常重要。如何合理的利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行有效地教與學(xué)是值得探討的一個(gè)課題。本文以具體教學(xué)為例，介紹了MATLAB軟件在提高《數(shù)值計(jì)算方法》課堂教學(xué)質(zhì)量中的具體使用。

二、MATLAB軟件引入的必要性

MATLAB是美國(guó)MathWorks公司自上世紀(jì)80年代中期推出的數(shù)學(xué)軟件，其優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其很快在數(shù)學(xué)軟件中脫穎而出。在歐美等高校，MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值計(jì)算方法、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等高級(jí)課程的基本教學(xué)工具。以前的《數(shù)值計(jì)算方法》課程常采用FORTRAN或者C語(yǔ)言進(jìn)行教學(xué)和實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生既要對(duì)算法有充分的了解，又要熟練掌握這兩種語(yǔ)言的語(yǔ)法和編程技巧，導(dǎo)致學(xué)生和教師將大量的時(shí)間和精力都花在煩瑣的程序編寫(xiě)以及對(duì)各種結(jié)果的繪圖上，學(xué)習(xí)效果往往令人不滿意。正如FORTRAN和C等高級(jí)語(yǔ)使人們擺脫了需要直接對(duì)計(jì)算機(jī)硬件資源進(jìn)行操作一樣，被稱為第四代計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的MATLAB，以其簡(jiǎn)潔的、更符合人們思維習(xí)慣的代碼以及強(qiáng)大的繪圖能力備受青睞?！稊?shù)值計(jì)算方法》課程內(nèi)容多、課時(shí)少，如果運(yùn)用傳統(tǒng)教學(xué)方法，有些內(nèi)容得不到細(xì)致地講解，易使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，收不到良好的教學(xué)效果。利用MATLAB對(duì)數(shù)值計(jì)算方法中涉及到的算法進(jìn)行設(shè)計(jì)，不僅高效、準(zhǔn)確，而且可以直觀地看出結(jié)果，便于對(duì)算法進(jìn)行整體的描述與分析。MATLAB可將教學(xué)中復(fù)雜的概念以及難以用文字表達(dá)清楚的內(nèi)容，用圖形、動(dòng)畫(huà)等形式體現(xiàn)出來(lái)。這樣，不僅可以活躍課堂氣氛，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以節(jié)約講解算法所需的時(shí)間，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)接受和掌握更多的知識(shí)。

三、MATLAB融入實(shí)踐教學(xué)

《數(shù)值計(jì)算方法》課程內(nèi)容涉及的范圍廣，公式推導(dǎo)和算法較多，問(wèn)題的計(jì)算量大。在授課過(guò)程中，學(xué)生感到枯燥乏味，學(xué)習(xí)興趣不高。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從以下具體實(shí)例說(shuō)明MATLAB在提高課堂教學(xué)效果中的作用。

1.利用繪圖功能，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方法的直觀認(rèn)識(shí)。多項(xiàng)式插值是數(shù)值計(jì)算方法的一個(gè)基本內(nèi)容，為了循序漸進(jìn)、從易到難，教材都是先講解簡(jiǎn)單的一次、二次插值，然后再講解高次插值。這樣，學(xué)生就會(huì)順理成章地認(rèn)為在用多項(xiàng)式插值方法逼近一個(gè)函數(shù)時(shí)，使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值的精度越高，但這是錯(cuò)誤的，隨著插值節(jié)點(diǎn)的增多，多項(xiàng)式次數(shù)的增加，插值函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不一定更加逼近給定的函數(shù)，“龍格”現(xiàn)象由此產(chǎn)生。如何生動(dòng)的表述這種現(xiàn)象，只靠理論的公式推導(dǎo)顯然不能打消學(xué)生的疑慮，MATLAB的強(qiáng)大繪圖功能使得學(xué)生能直觀地“看到”這種現(xiàn)象，更能加深對(duì)原理的理解。例如：考慮函數(shù)f（x）=■在區(qū)間[-1，1]的一個(gè)等距劃分，則拉格朗日插值多項(xiàng)式為：Ln（x）=■■li（x）其中的li（x）是拉格朗日插值基函數(shù)?，F(xiàn)在選擇不斷增大的分點(diǎn)數(shù)目n=3，4，…，12時(shí)，畫(huà)出的原函數(shù)f（x）及插值多項(xiàng)式函數(shù)Ln（x）在[-1，1]上的圖形見(jiàn)圖1.

實(shí)現(xiàn)這一算例的MATLAB代碼非常簡(jiǎn)單，教師只需要在備課時(shí)編寫(xiě)好程序，在課堂上講解完原理后運(yùn)行程序即可。圖形可以在視覺(jué)上給學(xué)生沖擊力，學(xué)生可以直觀地看到插值多項(xiàng)式的圖形與真實(shí)函數(shù)的圖形之間的差距，會(huì)認(rèn)識(shí)到并不是插值節(jié)點(diǎn)越多，插值函數(shù)越逼近原函數(shù)的事實(shí)。

2.利用已有庫(kù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析。許多實(shí)際問(wèn)題常常歸結(jié)為求解一個(gè)線性代數(shù)方程組的問(wèn)題，例如在工程與材料中的彈性力學(xué)、電路分析、大地測(cè)量、熱傳導(dǎo)等。求解線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法可分為直接法和迭代法。在講解線性代數(shù)方程組的直接解法時(shí)，Doolittle分解是非常重要的內(nèi)容。Doolittle分解就是把滿足條件的矩陣分解為一個(gè)單位下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積。這部分內(nèi)容難度適中，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)課上可以用自己熟悉的程序語(yǔ)言進(jìn)行編程，而MATLAB處理這部分內(nèi)容具有先天的優(yōu)勢(shì)，其內(nèi)部配置了相關(guān)的函數(shù)庫(kù)。學(xué)生可以把自己編程所得結(jié)果與MATLAB中的函數(shù)[L，U]=LU（X）所得結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證程序的正確性和執(zhí)行的效率。

如果用MATLAB本身的函數(shù)直接執(zhí)行Doolittle分解，則定義好矩陣A后，只需在命令窗口中輸入[L，U]=lu（A）即可，輸出結(jié)果與上面的結(jié)果相同。對(duì)于學(xué)生而言，如果針對(duì)同一問(wèn)題的兩種方式（自己編程實(shí)現(xiàn)和利用已有函數(shù)實(shí)現(xiàn)）的輸出結(jié)果不同，則要修改自己編制的程序，進(jìn)行自檢，直至完善。這使得MATLAB成為了一名“老師”，學(xué)生可在MATLAB已有庫(kù)函數(shù)的指導(dǎo)下，分析課堂上講解過(guò)的算法，甚至可直接查看這些庫(kù)函數(shù)的源代碼，對(duì)比自己編寫(xiě)的代碼，找出自身的不足，加強(qiáng)對(duì)數(shù)值算法的理解。

3.運(yùn)用動(dòng)態(tài)演示功能，使學(xué)習(xí)不再枯燥。數(shù)值計(jì)算方法中的方程求根講述了多種方法，其中有幾種是迭代方法。迭代方法的原理比較好懂，只是要達(dá)到一定的精度需要很大的計(jì)算量。在課堂上手算就有點(diǎn)力不從心了，而且學(xué)生也不愿看到老師在黑板上手算一步一步的迭代結(jié)果，那樣顯得非常枯燥。由于結(jié)果難以得到，學(xué)生往往懷疑迭代方法的實(shí)用性。使用MATLAB的動(dòng)態(tài)演示功能不僅能很好地解決這一問(wèn)題，而且還可以把復(fù)雜的迭代過(guò)程用動(dòng)畫(huà)的形式演示出來(lái)，計(jì)算過(guò)程可全部展示在屏幕上。學(xué)生可以看到迭代值是怎樣逼近真值的，可以動(dòng)態(tài)地演示近似解序列的推進(jìn)過(guò)程，使學(xué)生更加直觀地理解迭代法的收斂性與收斂速度問(wèn)題。例如：用牛頓法求f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[0，3]上的解。我們用動(dòng)態(tài)的點(diǎn)來(lái)演示逼近的過(guò)程，只需要4步，方程就可以迭代到滿足精度要求的解。學(xué)生可以看出點(diǎn)逼近真解的一個(gè)過(guò)程，從而形象地表述了迭代的思想。又例如，在講授正交多項(xiàng)式的內(nèi)容時(shí)，為加深學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容的理解和認(rèn)識(shí)，可以在計(jì)算機(jī)上動(dòng)態(tài)畫(huà)出任意次數(shù)的切比雪夫多項(xiàng)式和勒讓德多項(xiàng)式的圖形，觀察曲線的極值點(diǎn)和零點(diǎn)分布特征。這樣將會(huì)極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生通過(guò)親身感受理解了深?yuàn)W的理論知識(shí)，補(bǔ)充優(yōu)化了課堂教學(xué)，真正實(shí)現(xiàn)了教與學(xué)的良性互動(dòng)。

四、結(jié)語(yǔ)

借助于MATLAB的輔助教學(xué)，數(shù)值計(jì)算方法的教與學(xué)不再枯燥、煩瑣。學(xué)生不僅在有限的時(shí)間里拓寬了知識(shí)面，而且掌握知識(shí)程度也有所加深。MATLAB可將教學(xué)中復(fù)雜的概念以及難以用文字表達(dá)清楚的內(nèi)容，用圖形、動(dòng)畫(huà)等形式體現(xiàn)出來(lái)。這樣，不僅可以活躍課堂氣氛，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，而且可以節(jié)約講解算法所需的時(shí)間，起到事半功倍的效果。

作者簡(jiǎn)介：王際朝（1979-），男，山東莘縣人，中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院講師。