拉格朗日（Lagrange）中值定理的構造性證明

摘要：本文采用探究式的教學方法，結合自己多年的教學實踐，通過對羅爾定理與拉格朗日中值定理幾何特性的比較，提出證明拉格朗日中值定理的輔助函數構造方法，使證明更加清晰易懂。

關鍵詞：羅爾定理；拉格朗日中值定理；輔助函數

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）37-0084-02

微分中值定理，作為微分學中的重要定理，是微分學應用的理論基礎，是溝通函數與其導數之間的橋梁，是微分學的核心理論。目前，對微分中值定理的證明方法，除了數學分析或高等數學課本上的之外，還有很多值得學習借鑒的方法。基于微分中值定理的重要意義，同時為了使學生都能更加全面、深入地理解微分中值定理，掌握構造輔助函數證明的技巧，本文從幾何和分析角度加以分析證明。

一、羅爾定理的回顧與拉格朗日中值定理的引入

我們簡單回顧一下羅爾定理的內容：若函數f（x）滿足下列條件：①在閉區間[a，b]連續，②在開區間（a，b）可導，③f（a）=f（b），則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f'（ξ）=0。

羅爾定理的幾何意義大家都清楚了（如圖1），現在我們把曲線y=φ（x）繞A在平面內的逆時針旋轉α角，得到新的曲線（如圖2），大家看看有什么不同？

二、拉格朗日中值定理

（一）拉格朗日中值定理

如果函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續，（2）在開區間（a，b）內可導，那么在（a，b）內至少有一點ξ（a<ξ

注：①深刻認識定理是兩個條件，而羅爾定理是三個條件。②若加上f（a）=f（b），則f'（ξ）=■=■=0，即：f'（ξ）=0，拉格朗日定理變為羅爾定理，換句話說羅爾定理是拉格朗日定理的特例。

（二）拉格朗日（微分）中值定理的幾何意義

我們從幾何的角度看如下問題：

設連續函數y=f（x），a與b是它定義區間內的兩點（a

三、分析與證明

1.分析：如何來證明該定理呢？由于羅爾定理為拉格朗日定理的特例，我們考慮是否可將拉格朗日定理的證明轉化到羅爾定理上來，為此需要構造一個輔助函數φ（x），使它滿足羅爾定理的條件。由前述分析，我們知道圖2是在圖1的基礎上繞點A旋轉了α角得到的，現進行逆變換，即將圖2 曲線f（x）減去鉛直量（x-α）tanα得到圖1的曲線，而tanα=■。作輔助函數φ（x）=f（x）-■（x-a），注意 φ（x）滿足羅爾定理的三個條件。

2.證明：作輔助函數φ（x）=f（x）-■（x-a），易知 φ（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，又φ（a）=φ（b），根據羅爾定理，φ（x）在（a，b）內至少存在一點ξ，使得 φ'（ξ）=0，而φ'（x）=f'（x）-■，于是φ'（ξ）=f'（ξ）-■=0，即f'（ξ）-■=0，命題得證。

當設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導時，若x0，x0+Δx∈（a，b），則有f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0+θΔx）·Δx，（0<θ<1）；當y=f（x）時，也可寫成Δy=f'（x0+θΔx）·Δx，（0<θ<1），試與微分dy=f'（x）·Δx比較：即微分dy=f'（x）·Δx是函數增量Δy的近似表達式，而Δy=f'（x0+θΔx）·Δx（0<θ<1）是函數增量Δy的精確表達式。所以拉格朗日中值公式又稱為有限增量公式，拉格朗日中值定理又稱有限增量定理。

它有幾種常用的等價形式，可根據不同問題的特點，在不同場合靈活采用：

f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），ξ∈（a，b）

f（b）-f（a）=f'[a+θ（b-a）]（b-a），θ∈（0，1）

f（a+h）-f（a）=f'（a+θh）h，θ∈（0，1）

注：①羅爾定理是拉格朗日中值定理f（a）=（b）時的特例。②幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線y=f（x）上至少存在一點C（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB。我們在證明中引入的輔助函數φ（x），正是曲線y=f（x）與鉛直量（x-a）tanα之差，事實上，這個輔助函數的引入相當于圖形繞點A在平面內的旋轉，使在新坐標系下，線段AB平行于新x軸（φ（a）=φ（b））。本定理的證明是從幾何角度提供了一個用構造函數法證明數學命題的精彩典范，同時通過巧妙地數學變換，將一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，也是高等數學中的重要而常用的數學思維的體現。③拉格朗日中值定理的中值點ξ是開區間（a，b）內的某一點，而非區間內的任意點或指定一點。換言之，這個中值定理都僅“定性”地指出了中值點ξ的存在性，而非“定量”地指明ξ的具體數值。④拉格朗日中值定理的結論常稱為拉格朗日公式，該公式精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關系。

四、拉格朗日中值定理的兩個重要推論

1.函數f（x）在區間I上可導且f'（x）≡0，？圯f（x）為I上的常值函數.

證明：任取兩點x1，x2∈I（設x1

2.函數f（x）和g（x）在區間I上可導且f'（x）≡g'（x）？圯f（x）=g（x）+C，x∈I。

（證明略）

五、拉格朗日中值定理的應用

簡述：如何用拉式定理證明不等式，考慮注③，ξ點的不定，則f'（ξ）不定，但它畢竟在區間內導數的最大最小值之間，即引入不等式的概念。

例：證明arcsinx+arccosx=■（-1≤x≤1）

證明：設f（x）=arcsinx+arccosx，x∈[-1，1]

由于f'（x）=■+（-■）=0，所以f（x）≡C，x ∈[-1，1].

又f（0）=arcsin0+arccos0=0+■=■，即C=■.

故arcsinx+arccosx=■。

六、結論

本文從幾何角度構造輔助函數對拉格朗日中值定理進行了證明，不僅使學生掌握了定理的本質，并使學生積極主動參與到教學之中，較輕松地學會了定理的應用，而且對輔助函數的構造不再感到困惑，為后續課程利用拉格朗日中值定理解決實際問題打下了良好的理論基礎。