數學建模在《圖論》教學中的作用

摘要：在《圖論》課程的教學過程中，根據教學內容適當引入數學建模的思想、方法，激發學生學習《圖論》的興趣，提高學生應用所學知識分析、解決實際問題的能力。

關鍵詞：數學建模；《圖論》；應用

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）37-0065-03

一、數學建模的基本概念和思想

數學模型是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際問題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題深入細微地觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際問題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。

數學建模所利用的方法基本上是方程、分析、統計、運籌、圖論等常用數學工具，多數都要用到計算機進行數值計算和做圖，有時還用到計算機模擬。因此，在大學《圖論》課程教學活動中，教師如果能隨時隨處將數學建模思想和方法引入到教學內容中，使學生了解《圖論》的相關概念、定理產生的歷史背景，讓學生在學習《圖論》時，體會到圖論知識與現實問題聯系的緊密性以及應用的廣泛性，這樣才有利于激發學生的學習興趣，幫助學生對圖論知識的理解與吸收。

二、《圖論》中的數學建模思想

自18世紀歐拉對哥尼斯堡七橋問題的研究以來，圖論得到了深入而廣泛的發展，已成為一門應用數學課程，在自然科學、社會科學、機械工程中均有重要的意義。由于《圖論》課程概念多、公式復雜、定理難證明和難理解等特點，在一定程度上造成教學難，證明抽象度高，學生難以理解。學生不能真正理解圖論思想，更談不上靈活運用圖論知識來解決各種實際問題，從而使學生感到《圖論》的學習非常困難與枯燥。雖然《圖論》課程中概念、定理比較多，初學者不易掌握，但是圖論的概念和定理大多是從實際問題中抽象出來的，所以在教學中注重介紹各種概念和理論的實際背景，引導學生學習圖論思想，探究圖論的發展規律，從而將更好地幫助學生理解和掌握這些概念和理論。如何從實際問題中抽象出圖論的相關理論，數學建模正是聯系數學理論與實際的一座橋梁，是數學應用于科學和社會的一個很好的途徑，是解決實際問題的強有力的工具。在圖論某些定理證明的教學過程中可以適當地融入數學建模的思想與方法，把定理的結論看作一個特定的模型，需要去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設，可根據預先設置的問題情景，引導學生發現定理的結論，從而定理證明的方法也隨之顯現。

例1.設G=（V，E）為任意無向圖，V={v1，v2，...，vn}，|E|=m，證明所有頂點的度數和等于2m，并且奇點個數為偶數。

證明該結論之前，首先任意選取若干個學生，讓他們隨機互相握手，并記下每個人的握手次數和每兩人之間握手的次數，由此可得每個人握手次數總和是每兩人之間握手次數的2倍，以及握過奇數次手的人數一定是偶數。互動之后介紹該定理稱之為握手定理，從互動過程中可以建立定理結論的模型，并且證明的思路也就顯而易見了。

三、數學建模提高學生學習《圖論》的興趣和應用意識

由于教學課時的限制，將數學建模的思想方法融入《圖論》課程教學時，不能專門地讓學生學習建模，只能通過一些簡單的模型給學生介紹數學建模的思想及方法。《圖論》是現代數學的一個重要分支，在自然科學、社會科學、機械工程中有重要的意義，其求解思想滲透到自然學科的各個領域。圖論中的圖是由若干個給定的頂點及若干條連接兩個頂點的邊所構成的圖形。這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關系：用頂點代表事物，用連接兩個頂點的邊表示相應兩個事物間具有這種關系。這種圖提供了一個很自然的數據結構，可以對自然科學和社會科學領域中的許多問題進行恰當的描述或建模。因此，可以通過設計一些與《圖論》課程相關的課外建模活動，選擇符合學生實際并貼近生活的一些圖論問題，啟迪學生的論文查閱意識和能力，指導學生閱讀相關論文，最后以解題報告或小論文的形式提交他們的結果。

例2.有甲、乙、丙、丁、戊、己六名運動員報名參加A、B、C、D、E、F六個項目的比賽。表1中打“√”的是各運動員報名參加的比賽項目。如何安排六個項目的比賽順序，使得每名運動員都不連續地參加兩項比賽。

求解該問題時，可以先選取六名同學模擬一下實際問題，使學生理解該問題的實際背景，根據實際模擬情況，找出一種符合要求的比賽安排。再引導學生探究該問題與圖論的聯系，確定該問題的圖論模型，從而幫助學生尋找解決該問題的答案。在該問題中，若把比賽項目作為研究對象，用點表示，如果兩個項目有同一名運動員參加，在代表這兩個項目的點之間連一條線。如圖1：在該圖中只要找出一個點的序列，使依次排列的兩個點不相鄰，即能做到每名運動員不會連續地參加兩項比賽。例如A、C、B、F、E、D就是滿足要求的一種安排方法。

通過課內外的數學建模思想及方法的滲透，有助于激發學生的創造性思維，喚醒學生進行創造性工作的意識，因為建模本身就是一項創造性思維活動，它不僅有一定的理論性，還有較強的實踐性。結合課外數學建模活動的開展，增強學生應用數學的意識，運用所學的圖論知識去參與解決實際問題的全過程。訓練學生運用圖論知識建立數學模型，解決實際問題的技能和技巧，是培養學生應用數學知識解決實際問題的重要途徑。同時使學生體會到圖論知識與現實問題聯系的緊密性以及應用的廣泛性，從而激發學生研究數學建模的興趣，提高他們運用圖論知識解決實際問題的能力，充分感受到圖論的生機與活力，也進一步深入體會到了學習《圖論》的重要性。在建模過程中也充分調動了學生應用圖論知識分析和解決實際問題的積極性和主動性，學生充滿了把圖論知識和方法應用到實際問題之中去的渴望，使學生對以往數學課程教學中常見的枯燥、難懂、脫離實際的感受得到切實的改變，從而使《圖論》課程的教學效果得到了明顯提高。

四、結語

《圖論》是一門既有趣又有較大難度的課程。傳統的以概念、定理為主的教學模式使學生在學習《圖論》的過程中感到非常困難與枯燥，很難調動學生學習的積極性，也無法體現該門課程的應用性。在《圖論》課程教學中融入數學建模的思想和方法，提高了學生學習《圖論》的興趣。通過數學建模的方法，理論與實際相結合，使得枯燥的圖論問題變得通俗易懂，既增強了學生的新奇感，激發了學生的求知欲，又能從中受到啟迪，充分調動了學生主動地參與意識和自覺學習的積極性，極大地提高了學生的學習效率，培養了學生應用數學的意識。

參考文獻：

[1]王樹禾.圖論[M].北京：科學出版社，2004.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

基金項目：新世紀廣西高等教育教改工程立項項目（2011JGB321）

作者簡介：喬友付（1978-），男，安徽霍邱人，碩士，副教授，主要研究方向：圖論及其應用。