數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)值計算方法教學(xué)中的滲透

摘要：本文探討了在數(shù)值計算方法教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的必要性，并從幾個方面提出了滲透數(shù)學(xué)建模思想的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)值計算方法；數(shù)學(xué)建模；必要性；途徑

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）24-0047-02

隨著計算機的飛速發(fā)展，幾乎所有學(xué)科都走向定量化和精確化，從而產(chǎn)生了一系列計算性的學(xué)科分支，如《計算物理》、《計算化學(xué)》、《計算生物學(xué)》、《計算地質(zhì)學(xué)》、《計算氣象學(xué)》和《計算材料學(xué)》等，而《計算數(shù)學(xué)》中的數(shù)值計算方法則是解決“計算”問題的橋梁和工具。因此掌握數(shù)值計算方法的基本理論及其應(yīng)用對理工科大學(xué)生從事專業(yè)研究具有重要意義。那么如何加強學(xué)生對計算方法思想的領(lǐng)悟？如何增強學(xué)生運用計算方法思想解決實際問題的能力？在計算方法教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想是值得我們認真思考的問題，也是解決學(xué)與用關(guān)系的一個非常有意義的嘗試。筆者參加了山東省精品課程數(shù)值計算方法的建設(shè)，又結(jié)合近幾年的教學(xué)體會，提出以下幾點認識。

一、數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值計算方法教學(xué)的必要性

1.傳統(tǒng)數(shù)值計算方法教學(xué)的不足之處。值計算方法，也稱數(shù)值分析或計算方法，是專門研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法（近似解法），包括方法的構(gòu)造和求解過程的理論分析。課程中有大量的、冗長的計算公式，所涵蓋的知識面寬，各部分內(nèi)容自成體系，因而給人的感覺是條塊分割嚴重，邏輯性、連貫性不強。在傳統(tǒng)的數(shù)值計算方法教學(xué)中，主要是講解定義、公式推導(dǎo)和大量的計算方法等。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中甚至考試結(jié)束之后仍然不知道自己所學(xué)的算法能在什么地方應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)目的性模糊，學(xué)習(xí)興趣減少，因此加強培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力具有十分重要的意義。

2.數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)值計算方法教學(xué)中的作用。所謂數(shù)學(xué)建模[1]，就是將某一領(lǐng)域或部門的某一實際問題，通過做一些必要的簡化和假設(shè)，明確變量和參數(shù)，并依據(jù)某種“規(guī)律”，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)理論，建立變量和參數(shù)間的一個明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式，這個數(shù)學(xué)關(guān)系式即為數(shù)學(xué)模型，建立這個數(shù)學(xué)模型的過程即為數(shù)學(xué)建模。建立實際問題數(shù)學(xué)模型的過程如下[2]：實際問題→建立數(shù)學(xué)模型→求解模型→檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果→修改模型→再求解模型（可循環(huán)多次）→實際問題的合理結(jié)果。在這個過程中，只有一小部分模型能解析求解，大部分數(shù)學(xué)模型只能數(shù)值求解。這就要用到數(shù)值計算方法課程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、曲線擬合法、方程迭代求解法、共軛梯度法等，這就啟發(fā)我們將數(shù)學(xué)建模的思想融人計算方法的教學(xué)中，提供數(shù)值方法實際應(yīng)用的源泉，體現(xiàn)數(shù)值方法的價值和意義，使數(shù)學(xué)教學(xué)不再是無源之水，無本之木，不再顯得那么空洞，從而把以往教學(xué)中常見的“要我學(xué)”真正地變成“我要學(xué)”。

二、數(shù)學(xué)建模思想融人數(shù)值計算方法教學(xué)的途徑

將數(shù)學(xué)建模的思想融人數(shù)值計算方法教學(xué)中是很有必要的，但具體如何融入呢？結(jié)合教育的實際，筆者提出以下幾點建議。

1.原則。課堂教學(xué)的主要內(nèi)容和地位而言，數(shù)值算法是課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模僅作為一種教學(xué)方法而存在，是學(xué)生認知的一種途徑，它為數(shù)值計算方法教學(xué)服務(wù)，是教學(xué)工作的一種延伸和補充，處于從屬地位。數(shù)值計算方法為主，數(shù)學(xué)建模為輔，二者不能平分秋色，更不能本末倒置。因此，數(shù)學(xué)建模思想滲透到數(shù)值計算方法教學(xué)中的量不能超過一個度，否則，數(shù)值計算方法課就會變成數(shù)學(xué)建模課。

2.在解決應(yīng)用問題的講解中滲透數(shù)學(xué)建模的思想與方法。值計算方法中的數(shù)值方法都有很強的實際應(yīng)用背景，每一種方法都直接或間接與工程應(yīng)用有關(guān)。教學(xué)中通過對實際應(yīng)用背景的描述，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和探究心理，從而對學(xué)習(xí)內(nèi)容及過程產(chǎn)生強烈的興趣和需要。這就要求授課教師了解其他相關(guān)學(xué)科課程，讓學(xué)生知道所學(xué)的知識在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。例如：在信息技術(shù)中的圖像重建、圖像放大過程中為避免圖像失真、扭曲而增加的插值補點，建筑工程的外觀設(shè)計，天文觀測數(shù)據(jù)、地理信息數(shù)據(jù)的處理，社會經(jīng)濟現(xiàn)象的統(tǒng)計分析等方面，插值技術(shù)的應(yīng)用是不可或缺的；在實驗數(shù)據(jù)處理問題中，曲線擬合得到廣泛應(yīng)用；在汽車、飛機等的外型設(shè)計過程中，樣條技術(shù)的引入使其外型設(shè)計越來越光滑、美觀。

3.數(shù)學(xué)實驗中滲透數(shù)學(xué)建模的思想與方法。機環(huán)節(jié)是數(shù)值計算方法這門課程重要的組成部分，也是檢驗學(xué)生理解授課內(nèi)容好壞的“試金石”。授課教師可以結(jié)合實際和所學(xué)數(shù)值算法設(shè)計一些綜合性的問題，讓學(xué)生去解答。學(xué)生通過查閱資料，認真研究，建立模型，設(shè)計算法，編程上機，調(diào)試運行，得出結(jié)果。這個過程既提高了學(xué)生編程上機能力，對所學(xué)算法有了更深刻的理解，而且對提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的計算方法知識解決實際問題的能力也有很大幫助。

4.在案例教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想與方法。案例教學(xué)[3]，就是在課堂教學(xué)中，以具體案例作為教學(xué)內(nèi)容，通過具體問題的建模范例，介紹數(shù)學(xué)建模的思想方法。所選教學(xué)案例要盡可能結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)，并且涉及相應(yīng)數(shù)值算法而又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想。這樣既使學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)建模的方法，又使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)是解決實際問題的銳利武器。下面具體舉一個例子給予說明。例：三次樣條插值案例．在工程技術(shù)和數(shù)學(xué)應(yīng)用中經(jīng)常遇到這樣一類數(shù)據(jù)處理問題：在平面上給定了一組有序的離散點列，要求用一條光滑曲線把這些點按次序連接起來。解：傳統(tǒng)的設(shè)計方法是工程技術(shù)人員常常用一條富有彈性的均勻細木條，讓它們依次經(jīng)過離散數(shù)據(jù)點，然后用“壓鐵”在若干點處壓住，在其他地方讓它自由彎曲，然后沿細木條畫出一條光滑曲線，形象的稱為樣條曲線

在力學(xué)上，通常均勻細木條可以看作彈性細梁，壓鐵看作是作用在梁上的集中載荷，“樣條曲線”就模擬為彈性細梁在外加集中載荷作用下的彎曲變形曲線。設(shè)細梁剛度系數(shù)是A，彎矩為M，樣條曲線的曲率為k（x）。由力學(xué)知識：Ak（x）=M（x），M（x）是線性函數(shù)，k（x）=■當 時（即小撓度的情況），上述微分方程簡化為Ay\"（x）=M（x），∴y（4）（x）=0因此，“樣條曲線”在每個子區(qū)間可近似認為是三次多項式。通過此數(shù)學(xué)建模案例可以讓學(xué)生體會三次樣條的基本特征：分段三次光滑，整體二次光滑。

總之，在數(shù)值計算方法教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，不但搭建起數(shù)值計算方法知識與應(yīng)用的橋梁，而且使得數(shù)值計算方法知識得以加強、應(yīng)用領(lǐng)域得以拓廣，在推進素質(zhì)教育和培養(yǎng)創(chuàng)新能力上將會發(fā)揮重要的作用。

參考文獻：

[1]丁素珍，王濤，佟紹成.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與實踐[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，10（1）：133-135.

[2]曾國斌.試論數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，21（3）：92-94.

[3]何莉.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力[J].科教文匯，2008，68.

基金項目：山東省精品課程《數(shù)值計算方法》建設(shè)

作者簡介：郭會（1979-），女，山東濟陽人，中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，博士研究生，副教授，研究方向：偏微分方程數(shù)值解。