在《線性代數》的教學實踐中思考教材改革的方向

摘要：《線性代數》做為大學數學教學的一門重要基礎課之一，難教難學，在《線性代數》的教學實踐中思考教材改革的方向是要重矩陣輕行列式，要抽象與幾何并重，要重方法輕計算，要具體背景引出抽象概念。

關鍵詞：線性代數；教材改革；矩陣；解析幾何；抽象概念

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）24-0038-02

《線性代數》做為大學數學教學的一門公共重要基礎課之一，主要研究有限維空間的線性關系問題，是高等學校理、工、農、醫、經管等類專業學生的必修課程。作為離散化和數值計算理論基礎的代數理論，《線性代數》成為解決科學技術的諸多領域，如物理、化學、控制理論、工程技術、經濟與社會科學等學科中以及數學學科中的概率統計、微分方程、最優化等的強有力的數學工具。《線性代數》邏輯性強，比較抽象，前后知識聯系緊密。隨著信息化時代的到來，本課程的作用顯得尤為重要。《線性代數》課程教學注重數學基礎的培養。通過對它的學習可以培養學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數值計算能力和空間想象能力。《線性代數》學時少，難教難學，很多概念學生難以理解。相對其他課程如《高等數學》、《概率論》，在考研的數學總分中占的比例與學時相比最高。學生期末考試成績分數的高低完全可以反映學生掌握《線性代數》這門課程的好壞程度。通過試卷分析對學生思維的偏向可以定性的把握，也可以在《線性代數》的教學實踐中思考教材改革的方向。

一、要重矩陣輕行列式

在《線性代數》中，凡是用行列式求解的問題，基本上都可以用矩陣求解。一個大學生寫到：《線性代數》課程，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學中應用最廣泛的同濟線性代數教材（現在到了第四版），一上來就介紹逆序數這個“前無古人，后無來者”的古怪概念，然后用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘以一個系數加到另一行上，再把那一列減過來，可就是壓根看不出這個東西有什么用。

我們曾在期末考試中考過這樣一道題：x■-x■-x■+x■=0x■-x■+x■-3x■=1x■-x■-2x■+3x■=■求解線性方程組x■-x■-x■+x■=0x■-x■+x■-3x■=1x■-x■-2x■+3x■=■。

這道題顯然有解，不僅有解，而且有無窮多解。這道題應該用初等變換的方法求解，但是有相當一部分學生竟然用行列式的方法求解，有學生把下列式子當成了行列式，竟然算出了1 -1 -1 11 -1 1 -31 -1 -2 3=0。

也不知他們怎么算出來的，真難為他們了。這顯然是先入為主的思維方式束縛了他們的思想。人類都有先入為主的思維怪圈，那為什么不能在編教材的時候就克服這種思維模式呢。

二、要抽象與幾何意義并重

我國教材的一個重大缺陷就是不注意從幾何圖形引入線性代數的概念，不用圖說明問題。國內有很多改革《線性代數》教材的例子，例如大多數的名字叫《線性代數與空間解析幾何》、《線性代數與幾何》、《代數與幾何》或《幾何與代數》，他們大多是簡單的“1+1=2”的疊加。講幾何時只講幾何，不通代數；到了講代數時又不通幾何，沒有產生“1+1>2”的效果。他們沒有把《線性代數》與《空間解析幾何》這兩門課程有機地、實質性地融合在一起，沒有對線性代數中有的內容很好地進行幾何的解釋。例如國內某通用教材在向量的內積一節中的一個例子，已知a1=111，求一組非零向量a2，a3，使a1，a2，a3兩兩正交。書上的解題思路是利用內積的定義知a2，a3應滿足a1Tx=0，即x■+x■+x■=0。求出這個方程的基礎解系，再把基礎解系正交化。學生往往認為答案只有那么幾種，思路不開闊，往往限制在了線性代數的方法里了。利用《空間解析幾何》的方法可以這樣分析，先求出通過坐標原點并且垂直于a1的平面x■+x■+x■=0，然后在平面上任意求出兩個相互垂直的兩個向量即可。這樣學生頭腦中就有一個幾何的形象，答案就會千變萬化了。

三、數學軟件與線性代數的結合

國內的《線性代數》改革，多側重于課程內部概念的講法，不注意引進新技術，沒有用現代化的計算和教學工具。我們在期末考試中考過這樣一道題：用逆矩陣求解線性方程組x■-x■-x■=0x■-x■+x■=2x■-x■-2x■+=-1，答案是x1=2，x2=1，x3=1。但有的同學用行列式求解，有的同學用高中學的方法求解，還有的同學用初等變換的方法求解，即使用逆矩陣求解也是錯誤百出，得分率很低。這說明現在的學生計算能力很差，現在在大學里進行計算能力的訓練為時已晚，如何補救呢？線性技術廣泛存在于科學技術的各個領域，而借助于編程更是離不開線性化方法。教師在教學中應把培養學生的計算能力轉變到培養學生應用數學知識和利用Matlab、Mathmatica、Maple等數學軟件求解相應章節的問題，讓學生認識到數學與計算機結合的重要性。

四、具體背景、具體實例引出抽象概念

現在的絕大部分《線性代數》教材中實例幾乎沒有，多側重于課程內部概念的講法。我在研究生矩陣理論的教學中，學生問我學習線性空間與線性變換有什么用，我一時難以回答。在學生學習《線性代數》理論中的很多概念時，可能大腦一片茫然，這些概念有什么用？在國民經濟和中國民生的重大問題、在歷史上各門科學研究中的核心問題中有沒有利用《線性代數》的知識與方法解決的？《線性代數》與實際嚴重脫節。

參考文獻：

[1]同濟大學.線性代數[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

基金項目：河南省省級研究項目（2012SJGLX125），河南省應用數學重點學科資助

作者簡介：崔潤卿（1966-），男，河南偃師人，副教授，從事矩陣分析方面的研究與教學工作。