近世代數課程教學芻議

摘要：從近世代數的課程意義和課程特點出發，結合教學實踐，闡述了教師如何通過教學內容的組織、教學策略的實施和教學方法的改進三個方面來提高近世代數的教學質量。

關鍵詞：近世代數；教學；抽象；反例

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）15-0077-03

一、近世代數課程的意義和特點

代數最初主要研究的是數，高等代數雖然引入了行列式、矩陣等概念，但還是離不開數.人們發現，許多抽象的對象也都具有類似于數的這一特征，于是對它們的結構和性質進行了研究，并且應用它們解決了許多重大的數學問題和實際問題，這就導致了近世代數的產生和發展.隨著現代科技的飛速發展，特別是信息、電子科學研究的不斷深化，近世代數的基本思想、理論和方法的重要作用越來越明顯，而且它已經滲透到科學領域的各個方面與部門.尤其是近世代數在編碼和信息安全方面的應用更被認為是基礎數學應用的一個成功典范.另外，近世代數中的等價、劃分、同構等思想方法對于提高學生的數學修養、培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用.它需要學習者具有敏銳的直覺思維和嚴謹的邏輯思維，同時也需要構造性的思路和精練的抽象思維.

二、近世代數課程的教學研究與實踐

由于近世代數的高度抽象性不同于其他數學學科，初學者很難掌握用近世代數的基本思想和理論來處理或解決具體問題的方法，從而直接影響了后繼課程學習的熱情.這給教師提出了嚴峻的挑戰，究竟如何組織教學，才能使學生輕松愉快地學習并掌握該課程內容？通過實踐，我們覺得可從以下幾個方面嘗試.

1.教學內容的組織.教學內容的組織是教學工作的重要環節，它直接影響學生的學習興趣與學習效果.近世代數的教材是代數學已發展成熟、理論完善之中的最重要的基礎.由于教材的篇幅所限，大多以一種簡化理想的、服從數學演繹推理的邏輯結構形式呈現，比較注意知識的科學性、系統性和邏輯體系，而對知識的發生與發展過程，對蘊含于知識之中的思維價值與智力價值則較少反映；對蘊含于數學問題中的數學思想和方法也較少予以明確的揭示.所以必須領會教材內容的精神實質，考慮學生學習過程的心理活動規律，改變教材的形式化表述順序，立足于代數學知識產生的背景，對所選的材料按教育科學的原理加工、改編，用多種形式來呈現教學內容，將數學知識學術形態轉化為教育形態，恢復原始的思考過程，注重分析各概念的來龍去脈，強化代數學中最基本的思想和方法，讓學生逐步感悟到研究各種代數運算系統的作用和好處.這樣不僅符合學生的認知規律，易于他們進入實質性的理解，也便于學生主動建構知識.

2.教學策略的實施.（1）重視概念教學.概念是判斷、推理和論證的基礎，準確地理解和掌握概念，才能做出正確的判斷、推理和論證.近世代數本身是一種“概念的游戲”，其內容比較抽象.而且近世代數的教材編排一般是“定義→定理→性質”的模式，單調枯燥，進一步影響了學生學習這門課程的情緒.教學中可以盡量調動學生已有的各種數學知識，舉出豐富多彩的具體實例，揭示概念的本質特征，在形象與抽象之間架起一座橋梁，使學生主動地構建這些概念，即促進學生知識的正向遷移.例如，近世代數中“關系”的定義[1]：設M是一個集合，如果有一個法則R，它對M中的任二元素a，b可以確定“是”或“不是”符合這個法則，則稱此法則R為M的元素間的一個關系，當元素a與b符合這一法則時，記為aRb，否則記為aRb.在講授時，可先從現實生活中舉一個容易理解的例子，之后再舉和理論有關的例子就不覺得“抽象”了.譬如，設M為南陽師院數學與應用數學專業的全體同學的集合，規定aRb？圳a與b來自一個省，則從該專業中任意抽出兩個同學，他們如果來自一個省，則他們兩個就有這種關系，如果不是來自一個省，則他們兩個就沒有這種關系.之后跟學生講清楚，“關系”是需要自己去定義的，接著再舉一些理論上的例子就好理解了.又如，等價關系的定義[1]：如果集合M的元素間的一個關系R滿足以下條件：10對M中任意元素a，都有aRa；（反身性）20如果aRb，必有bRa；（對稱性）30如果aRb，bRc，必有aRc（傳遞性），則稱這個關系是M的一個等價關系.可以讓學生驗證前面定義的那個“關系”就是一個“等價關系”，這樣把兩個定義都形象地刻畫了.接下來再向學生介紹學過的矩陣的等價、相似與合同都是矩陣間的等價關系，可帶著學生驗證其中的一個，其余讓學生自己驗證，便于他們掌握驗證等價關系的方法.（2）化抽象為具體.學生感到近世代數生澀難懂，原因之一在于它的概念和定理具有高度的抽象性和概括性.如果不把概念產生的背景講清楚，學生就只是死記概念本身.這就要求教師授課時多舉例子、多講歷史起源.例如，在講 “整環里的因子分解”時，先講最初是數學家高斯為了解決n次方程是否有整數解這一問題才研究整數環的唯一分解性的，再以整數環為例進行講解.這樣學生心中就有了實實在在的例子，而不會感到抽象.（3）注重反例的作用.對于數學命題，證明與構造反例是兩種不同的“論證”方法，具有同樣的說服力，前者肯定命題，后者否定命題.近世代數理論性強、內容抽象，學生對一些概念的理解、性質的運用容易出現偏差.而構造反例能幫助學生理解概念、掌握性質，下面是教學中的幾個具體例子.①同構映射？準 的定義中隱含著三個條件：？準是滿射，？準是單射，？準保持運算，缺一不可.為了讓學生更好地理解概念，除了舉一些同構映射的例子，還可以舉一些非同構映射的例子.例1 G1={非零有理數}，G1={有理數}，運算都是普通乘法.映射？準1（a）=a.（a∈G1），則？準1是G1到G1的單射且保持運算，但不是滿射；G2{整數}，G2的運算是普通加法.G2=1，G2的代數運算是普通乘法.映射？準2（a）=1（a∈G2），則？準2是G2到 G2的滿射且保持運算，但不是單射；G3=G3={實數}，運算都是普通乘法.映射？準3（a）=-a（a∈G3），則？準3是G3到G3的雙射，但是不保持運算.可見？準1、？準2、？準3都不是同構映射.②無限群中存在有限階的元.例2 在非零有理數乘群中，1的階是1，-1的階是2，其余元的階均無限.③有零因子環R的子環S未必有零因子.例3 數域P上的n級矩陣環Pn×n是有零因子環，全體n級數量矩陣作成Pn×n的一個子環，而這個子環是沒有零因子的.④理想沒有傳遞性.例4

A=2a 4b0 2ca，b，c∈Z，B=2a 2b0 2ca，b，c∈Z，C=a b0 ca，b，c∈Z都是整數環上2階全矩陣環的子環，易見環A是環B的理想，環B是環C的理想，而環A不是環C的理想.⑤強化知識的應用.近世代數的強大生命力不僅在于其深刻的理論，還在于其廣泛的應用.教學中教師一般從教學的目的出發，強調理論較多，涉及應用較少.所以會經常遇到學生詢問，學這門數學課有什么用？為激發學生的學習興趣，教師在講完概念和理論后，要舉一些實際應用.例如，在講授群的概念時可舉例：設V是域P上n維線性空間，則V的所有可逆的線性變換對乘法組成群，它同構于P上全體n階可逆方陣組成的乘法群，這是群論在高等代數中的應用；考慮平面上正n（n≥3）邊形的全體對稱的集合，它包含n個旋轉和n個反射（沿n條不同的對稱軸），很容易看出這個集合對于變換的乘法，即變換的連續施加來說組成一個群，這是群論在幾何學中的應用；而物理學中在討論晶體類型的對稱性變換過程中，晶體學家就是把晶體的全體對稱性變換作為群來進行研究的，這又是群論在物理學中的應用等等.二元域（有限域）在糾錯碼和線性移位寄存器序列中的應用，更產生了相當優美的結果.這是更深層次地反映了近世代數在當代數字化信息時代中的作用.

3.教學方法的改進.在近世代數的教學中，要突破傳統的講授法教學模式，探索多元化教學模式和方法，我們提出了近世代數課堂開拓思維的方法，利用多媒體進行多彩的圖形演示，體現數學美，不僅如此，還要根據教學內容增加引導自學法、討論法和問題法等.在學法上，引導學生進行分析歸納提煉方法，類比聯想溝通知識間的關系，猜測探索尋求問題解決的途徑，安排形式多樣的習題課，開展討論課，布置近世代數的學期論文等等.實踐證明，多種方法的應用既活躍了課堂氣氛，增加了學生學習數學的濃厚興趣，變被動學習為主動學習，又給學生留以獨立思考的空間，促進學生思維的發展，使得學生能夠初步具備用近世代數的基本思想和理論來處理或解決具體問題的能力.

總之，近世代數課堂教學中的策略可以有效地培養學生思維，提高學生的數學素養，不斷完善學生的知識結構，并為進一步學習數學專業后繼課程打下良好的基礎.

參考文獻：

[1]楊子胥.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2003.