妙用點在曲線上 巧解三角函數問題

摘要：三角函數問題在考試中時有出現，并且基本都是通過求三角函數中的參數問題以考察三角函數。本文旨在應用點在函數曲線上，巧解三角函數問題。

關鍵詞：點；曲線；三角函數

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）22-0078-03

縱觀這幾年的考試，三角函數特別是關于對稱的問題在考試中時有出現，不管是已給出的條件，還是要求解決的問題，很多都是與對稱有關的，但具體又各個不同。很多學生往往在遇到這種問題時感到無從下手，不知道應如何思考，如何達到解決問題的目的。或者，有些題目想要解決的話，用一般的常規方法也可以解決，但這樣的話需要的時間與精力是很大的，這些題目一般都是選擇或者填空題，在這道題上面花費過多時間無疑是不合理的。并且用常規方法解決此類題目時要求學生能夠熟練應用三角函數的誘導公式，那么，不是每個學生都能夠達到此種要求。所以本文擬給出這種簡單且易掌握的解法，便于考試時學生快速進行解答。本文將巧妙運用點在函數曲線上，以解決三角函數問題。

本文主要從以下三個例題出發討論如何在題目中挖掘隱含條件，即從所給條件以及結合三角函數圖像的性質，判斷一個點或者幾個點在曲線上，再根據有關式子計算相關參數。

例1〓如果函數y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x= -對稱，那么a=（ ）。

A.〓〓 B.-〓 〓C.1〓 〓D.-1

分析：學生面對此題時，如果沒有較合理的方法進行思維，就會很容易走入誤區，讓思維糾結在化簡三角函數解析式當中的話，將耗費大量的時間而于事無補。解決這道題就需要緊抓“函數y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-對稱”這一條件上，判斷哪些點一定在函數曲線上，在通過點的坐標進行計算即可。

妙解1：

∵函數y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-對稱

∴點（0，f（0））與點（-，f（-））必在此三角函數的曲線上

（原因：在數軸上，0與-是關于-對稱的）

∴f（0）=f（-）

即是sin0+acos0=sin（-）+acos（-）

∴ a=-1.

故此題選D.

妙解2：

∵函數y=sin2x+acos2x的圖像關于直線x=-對稱

∴點（-，）或（-，-）必在此三角函數的曲線上

（原因：當x=-時，函數圖像有極值點，也就是說當 x=-時，函數取得極（最）大值或者極（最）小值，而函數y=sin2x+acos2x的最大或最小值為±）

∴sin（-）+acos（-）=±

即-+a=±

由此可得a=-1。

故選D

妙解3：

∵由函數解析式便可知此三角函數的周期是π

∴點（-+，0）即點（，0）在此三角函數的曲線上

（原因：由三角函數圖像的性質決定）

∴sin+acos=0即+a=0

∴a=-1

故選D

小結：

1.妙解1是運用三角函數圖像的對稱軸的性質在圖像上直接找點，再代入已知式子，即可求得所要求的參數值。這個方法不用思考很多，掌握三角函數性質即可。

2.妙解2是運用三角函數圖像的性質以及對稱軸與函數值的關系，進而分析得出關于 的方程，繼而求解。此種方法要求學生需要有一定的思考能力。

3.妙解3從三角函數解析式出發并結合三角函數圖像性質找到解決問題的突破點，這種方法技巧性很高，一般很難想到，但只要學生能意識到這一點，這方法是最簡單的。所以，教師可培養學生綜合考慮問題的能力，一旦這種思想被學生所注意到，進而掌握，那么對于學生學習并解決此類問題的幫助甚大。

4.當然，曲線上的對解題有幫助的可取的點是很多的，怎樣取點也就是每種解法的妙處所在。取點的方法多，解法自然就比較多，這里就不再一一列舉了。

例2 若a∈R且f（x）=sinx-a+1是奇函數，則a= 。

分析：一般情況下學生面對此類題目的常規解法是：

∵函數f（x）為奇函數，則運用奇函數的性質-f（x）=f（-x），又∵f（-x）=sin（-x）-a+1，-f（x）=-sinx+a+1

∴sin（-x）-a+1=-sinx+a+1

又∵sinx為奇函數，即sin（-x）=-sinx

∴-a+1=a+1

∴a=-1

常規解法雖然能解答題目，但是比較麻煩，計算過程中還需格外小心不能出錯才行。并且需要推算與演繹的過程比較耗時間，在考試時，學生的時間是很珍貴的，如果學生能夠在前面的小題都能節省下一點時間留給解答后面大題的話，是非常可取的，也是非常必要的。下面給出妙用點在曲線上的解法來解決這道題，會非常省時省力。

妙解1：

∵函數f（x）為奇函數

∴點（0，0）在此三角函數曲線上

∴0=a+1

∴a=-1

妙解2：

∵點（π，0）在此三角函數曲線上

∴0=a+1

∴a=-1

妙解3：

∵點（，1-a+1）在此三角函數曲線上

又∵函數f（x）為奇函數，且（-，-1-a+1）也在此三角函數曲線上

∴1-a+1=-（-1-a+1）

∴0=a+1

∴a=-1

小結：

1.妙解1的最妙之處在與充分運用奇函數圖像過原點（0，0）的性質解決復雜問題，此方法非常容易理解，也容易計算的答案，并且基本不會出現運算失誤，非常節約時間。

2.妙解2其實同妙解1有相似的地方，都是根據奇函數圖像與x軸交點的縱坐標為0計算而得，也比較容易理解。

3.妙解3是運用奇函數圖像的兩個極值點坐標之間關系來討論的。妙解3與妙解1和妙解2相比似乎不算是非常妙，但是如果碰到題目不能確定是否過諸如原點（0，0）或者點（π，0）這些特殊的點時，妙解3就很有幫助了。

例3 已知f（x）=sin（x+θ）+cos（x-θ）為偶函數，試求θ。

分析：乍看此題，學生會覺得無所是從，因為已知的函數是比較復雜的復合三角函數，并且函數中x與θ之間有兩個不同的關系式，還不容易化簡。就算通過原函數為偶函數寫出相關式子也很難再繼續進行下一步了。

常規解法：因為函數f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x）.

f（-x）=sin（-x+θ）+cos（-x-θ）

=-sin（x-θ）+cos（x+θ）2

=sin（x+θ）+cos（x-θ）=f（x）

即有sin（x-θ）-cos（x-θ）=-sin（x+θ）+cos（x+θ）

2（sin（x-θ）-cos（x-θ））=-2（sin（x+θ）-cos（x+θ））

2sin（x-θ-）=-2sin（x+θ-）

……

接下來很難再往下計算了，因為計算量太大。

按照這樣經過很多步驟的推導解此填空題必定花費很長的時間，并且在做題時很容易出現錯誤。所以在考試過程中學生這樣做是很不合理的。下面的妙解將巧妙運用某些點必在曲線上的三角函數的知識，解決此問題。

妙解：

∵函數f（x）為偶函數，且-與關于y軸對稱，

∴點（-，f（-））與點（，f（））在此函數曲線上，且關于y軸對稱

∴f（-）=f（）

即sin（-+θ）+cos（--θ）=sin（+θ）+cos（-θ）

-cosθ-sinθ=cosθ+sinθ

即2（cosθ+sinθ）=0？圯cosθ+sinθ=0？圯tanθ=-

∴θ=kπ-（k∈Z）

注意：此題所找的點是（-，f（-））與點（，f（）），而非（0，f（0）），因為原函數為偶函數，但是當 x=0時，因為含參數θ而無法確定y的值，即f（0）無法確定，所以不能直接用點（0，f（0））進行計算，相反用上述兩個關于y軸對稱的點，那么不管f（-）與f（）為何值，不影響我們計算θ。

例3相比例1與例2較復雜，但這種方法也很容易理解。

妙用點在曲線上，巧解三角函數問題，此方法技巧性比較高。雖然技巧高，但是卻不難理解，反而很容易被掌握，學生應該也喜歡這樣的做小題的方法，因為不會有很大的計算量，也不容易出現計算失誤，反而只用在在曲線上取特殊的點的坐標即可解決復雜問題，又省時間又省力氣，所以說此方法是幫助學生解決三角函數問題的得力助手！