工科復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)改革探析

摘要：工科復(fù)變函數(shù)與積分變換的課程性質(zhì)不同于大學(xué)其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。本文從教學(xué)思想、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法三方面就如何提高工科復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)質(zhì)量給出了幾點建議。

關(guān)鍵詞：工科復(fù)變函數(shù)與積分變換；教學(xué)思想；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）22-0038-02

工科復(fù)變函數(shù)與積分變換主要是面向工科光電類、機電類、通信類、生物醫(yī)學(xué)類專業(yè)開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)必修課程。盡管課程名稱綜合了復(fù)變函數(shù)論、積分變換兩門數(shù)學(xué)系的專業(yè)基礎(chǔ)課程，但從授課內(nèi)容和對學(xué)生要求程度與數(shù)學(xué)專業(yè)的兩門課程截然不同。它也不同于大學(xué)其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，如高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)，因為它主要是為后繼專業(yè)課服務(wù)的，受學(xué)時和專業(yè)課要求所限，講授時不可能像高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計那樣面面俱到，不可能把每一個概念、定理都逐個講透。如何提高工科復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)是一個值得探討的問題，我們就三方面進行討論。

一、教學(xué)思想方面

首先，工科復(fù)變函數(shù)與積分變換是專業(yè)基礎(chǔ)必修課程，是為后繼很多門工科專業(yè)課服務(wù)的，比如自動控制原理、信號分析與信號處理、醫(yī)學(xué)成像與圖像處理等專業(yè)課程。教學(xué)指導(dǎo)思想應(yīng)遵循以下兩個基本原則。

1.強計算、弱證明。工科講授的復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容體系分為復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分、復(fù)級數(shù)、留數(shù)理論、共形映射六大部分，其中解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分和共形映射部分涉及到很多的定理證明問題，比如復(fù)合閉路定理、閉路變形原理、平均值定理、最大模原理等，這部分對工科學(xué)生掌握起來偏難，可以淡化證明，簡單推導(dǎo)，對一些過難的定理可以作為自修內(nèi)容，而對專業(yè)課涉及的留數(shù)理論、級數(shù)理論還有各種積分方法的具體類型題，計算則要詳細(xì)講解，重點推導(dǎo)。工科積分變換也是同樣，涉及到傅里葉積分展開定理證明、傅里葉變換推導(dǎo)、拉普拉斯變換推導(dǎo)、狄拉克函數(shù)背景和性質(zhì)可以略講，給出結(jié)果即可，而對利用兩種變換的性質(zhì)計算的類型題則應(yīng)加強練習(xí)，熟練掌握。

2.重視工科復(fù)變函數(shù)與積分變換與后繼專業(yè)課的銜接。在自動控制原理、信號分析與信號處理、醫(yī)學(xué)成像與圖像處理這些專業(yè)課程中用到的大部分是積分變換的知識，講解過程中應(yīng)注意提及要銜接內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，比如在講拉普拉斯變換應(yīng)用時就可以強調(diào)信號輸入輸出實質(zhì)就是將一類函數(shù)經(jīng)過某種變換以另一類函數(shù)輸出。

二、教學(xué)內(nèi)容方面

工科復(fù)變函數(shù)與積分變換的學(xué)時通常在32～64學(xué)時左右，要想每一部分內(nèi)容都細(xì)致深入的講解是根本辦不到的，因此在內(nèi)容講解上應(yīng)該注意抓重點，常歸納，重應(yīng)用。比如幫助學(xué)生歸納復(fù)變函數(shù)積分可以按積分曲線的不同分成閉合曲線和非閉合曲線兩大類，閉合曲線上的積分又可以分成：（1）定義法：即化復(fù)變函數(shù)的積分為實部、虛部兩個實變二元函數(shù)的曲線積分問題。（2）柯西—古薩基本定理。（3）利用已知結(jié)果求其他一大類積分，即在包含a點的圓周上做關(guān)于■的積分結(jié)果為2πi。（4）柯西積分公式。（5）高階導(dǎo)數(shù)公式。（6）級數(shù)法。（7）留數(shù)法，通過總結(jié)使學(xué)生對積分方法做到理解深刻。在重應(yīng)用方面，工科復(fù)變函數(shù)與積分變換講解要盡可能避免數(shù)學(xué)的抽象，盡可能多的聯(lián)系實際，強調(diào)應(yīng)用。比如講清復(fù)變函數(shù)實質(zhì)就是一個平面穩(wěn)定場，保角映射的應(yīng)用就主要在平面場和平面流場上。傅里葉變換的物理意義實質(zhì)就是物理上常用的頻譜概念。拉普拉斯變換的應(yīng)用可以用于求解常系數(shù)線性微分方程初值問題及某些特別的微分、積分方程的初值問題，這種方法常在電路理論和自動控制理論的線性系統(tǒng)中應(yīng)用。

三、教學(xué)方法方面

大多數(shù)工科院校在講授工科復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課程時還停留在傳統(tǒng)的以老師講授為主的基礎(chǔ)上，教學(xué)效果并不理想，適當(dāng)加入引導(dǎo)式、啟發(fā)式和討論式教學(xué)乃至案例實驗教學(xué)可以達到事半功倍的效果。

1.引導(dǎo)式教學(xué)。在教學(xué)過程中應(yīng)通過問題引導(dǎo)式教學(xué)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如提出研究復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)聯(lián)系的問題，在開始接觸時應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生找出二者區(qū)別與聯(lián)系。以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學(xué)分支就叫做實變函數(shù)論。以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。復(fù)變函數(shù)求極限，解析函數(shù)求導(dǎo)，求積分，級數(shù)展開都可以用實變函數(shù)的對應(yīng)理論研究。

2.啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)式教學(xué)是指教師在教學(xué)過程中根據(jù)教學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律，從學(xué)生的實際出發(fā)，采用多種方式，以啟發(fā)學(xué)生的思維為核心，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和積極性，促使他們生動活潑地學(xué)習(xí)的一種教學(xué)指導(dǎo)思想。比如啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的主題研究對象是解析函數(shù)，重點是解析函數(shù)孤立奇點處的性質(zhì)，級數(shù)展開，積分等等，讓學(xué)生自己總結(jié)出孤立奇點的三種類型及判別方法，以及前面提到過的積分求解的7種方法。啟發(fā)學(xué)生探索或查找復(fù)變函數(shù)與積分變換與物理、電學(xué)、控制理論中一些基本概念之間的聯(lián)系。這將引起學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣，也為學(xué)好這門課程提供了有效的方法。

3.討論式教學(xué)。討論式教學(xué)的環(huán)節(jié)大致包括：設(shè)計問題、提供資料、啟發(fā)思路、得出結(jié)論。比如在工科復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)中可以結(jié)合討論式教學(xué)的模式和特點，就積分變換應(yīng)用中的重點和難點問題，充分提供參考書、研究方法、例題等資料，引導(dǎo)學(xué)生自主進行辯論和思考，幫助其歸納得出積分變換應(yīng)用的內(nèi)容，可以以小論文的形式匯報并將此作為學(xué)生平時成績的一部分。

4.案例實驗教學(xué)。這是一個新嘗試，由于工科復(fù)變函數(shù)與積分變換課程學(xué)時所限，在正常的學(xué)期內(nèi)不可能有時間進行上機實驗，因此可以將此部分留作假期作業(yè)，在學(xué)生掌握了基本的數(shù)學(xué)軟件使用后，留作一些運算或數(shù)值算例，比如利用Matlab工具箱進行復(fù)變函數(shù)圖形的繪制達到復(fù)變函數(shù)可視化的目的；再比如利用residue命令求復(fù)變函數(shù)的留數(shù)，利用laplace和ilaplace，fourier和ifourier命令求拉普拉斯變換及逆變換，傅里葉變換及逆變換，不但讓學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有了進一步形象生動的理解，還讓學(xué)生在今后的專業(yè)課學(xué)習(xí)中多了一種研究工具。

總之，提高工科復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)質(zhì)量要做到明確教學(xué)目標(biāo)，確定教學(xué)思想，完善教學(xué)內(nèi)容，活用教學(xué)方法，只有這樣才能把這門課程的教學(xué)質(zhì)量真正得到提升，學(xué)生真正學(xué)習(xí)學(xué)懂這門課程，但是如何貫徹這幾點需要這門課程的任課教師做到適應(yīng)課程教學(xué)的新形勢，以素質(zhì)教育為核心，以學(xué)生為主體，不斷挖掘?qū)W生的潛力，不斷補充自己的教學(xué)能力。

參考文獻：

[1]劉向麗.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：機械工業(yè)出版社，2009.

[2]周晨星，姜淑珍.復(fù)變函數(shù)論教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的新探[J].長春師范學(xué)院學(xué)報，2005，（11）.

[3]熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復(fù)變函數(shù)中的遷移教學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，（02）.

[4]謝娟.任務(wù)驅(qū)動教學(xué)法在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].合肥師范學(xué)院學(xué)報，2010，（06）.