勾股定理的幾種“高級”應用方式

摘要：勾股定理（外國叫畢達哥拉斯定理）被稱為“千古第一定理”，它是聯系數學中最基本也是最原始的兩個對象——數與形的第一定理，勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為證明與推理的科學，所以其重要性是顯而易見的。在初中階段，勾股定理及其逆定理的使用也是重難點之一，通過對復習方案學習、理解、應用，并體會其中的數學思想和方法，以達到對知識整合、提高綜合運用能力的目的。

關鍵詞：勾股定理；勾股定理的逆定理；基本使用方法；數學思想和方法；復習方案

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A？搖 文章編號：1674-9324（2013）39-0250-02

在直角三角形中，知道兩邊求第三邊，這是勾股定理的基本使用方式；如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，這是勾股定理的逆定理的基本使用方法。從知識角度看，這兩者就是《勾股定理》全章的主要內容。但勾股定理應用極及廣泛，在不同情景中，體現出不同的數學思想和方法，這才是勾股定理應用的精髓，因此，我設計了突出數學方法和思想的復習方案。首先，設計如下的導學案，發給學生自主學習。

一、學習目標

1.回顧勾股定理、勾股定理逆定理的內容及證明。

2.總結應用勾股定理解決問題的數學思想與方法。

二、勾股定理的應用

（一）勾股定理的內容

1.如圖，△ABC中，如果 ，那么 。

2.下面這枚郵票上的圖案，也反映了勾股定理的內容：分別以直角三角形三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則 。如果分別以直角三角形三邊為邊向外作三個半圓、等邊三角形或等腰直角三角形，還有同樣的結果嗎？請選擇一種加以證明。

（設計意圖：不僅復習定理基本內容，更應明白它的拓展和變式）

（二）勾股定理的證明

古人用“弦圖”證明了勾股定理，體現了我國古代數學家的智慧。以下三個圖形都是由邊長分別為a、b、c的直角三角形拼成的，請你選擇其中一個，用數學符號語言給出勾股定理的一個證明。

（設計意圖：至少掌握一種證明方式，體會數形結合思想）

（三）應用勾股定理解決問題

1.已知：直角三角形的兩邊長分別是3和4，則第三邊長為 .

2.三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC邊上的高線AD=8，則BC= （請畫圖）.

（設計意圖：學生易錯點，滲透分情況討論思想）

3.折疊矩形ABCD的一邊AD，點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則CF= cm，EC= cm.

（設計意圖：勾股定理結合方程思想）

4.以下兩題選做一題：

（1）如圖，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8，求AC的邊長。

（2）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°， ∠C=60°，AD=1，BC=2。求AB、CD。

（設計意圖：體會構造思想，自己構造直角三角形）

5.如圖是一個長方體盒子，AF=4厘米，CD=3厘米，BC=12厘米，

（1）一根長13.5厘米的細棍能否完全放入盒內？

（2）如果一只螞蟻在盒子的表面，要從B點爬到A點，其最短行程是多少？請畫圖計算說明。

（設計意圖：滲透（空間）轉化（為平面）的思想，方法：展開）

（四）勾股定理的逆定理

如圖，△ABC中，如果 ，

那么 。這個定理是怎么證明的？

（設計意圖：構造性證明、同一法）

（五）勾股定理逆定理的應用

6.滿足下列條件 （填序號）的三角形是直角三角形。

（1）三個角的度數之比為1∶3∶4

（2）三個角的度數之比為1∶3∶2

（3）三邊長度之比為1∶■∶2

（4）三邊長度之比為■∶■∶2

（4）三邊長度為32，42，52，

（6）三邊長度為■，■，■

（設計意圖：學生易錯點；總結判斷直角三角形的邊、角形式）

7.在正方形ABCD中，F為DC的中點，E為BC上一點，且EC=■BC，求證：AF⊥EF。

（設計意圖：通過計算進行證明的思想）

在學生自學的基礎上，老師組織學生展示和討論，解決出現的問題。然后，老師引導學生共同歸納如下的全章知識和方法結構圖：

這樣的復習，雖然用時較長，但學生對《勾股定理》的全章的知識、數學思想與方法得到充分的復習和鞏固，有利于學生深刻掌握。