秦九韶算法習題辨析

摘要：中國古代數學對世界數學發展有著不可磨滅的貢獻。《數書九章》中的秦九韶算法就是中國古代數學的一只奇葩。文章探討了如何理解“秦九韶算法”的原理。

關鍵詞：秦九韶算法；習題辨析；原理

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2013）14-0140-02

在數學的發展史上，中國的數學雖有過輝煌，也有過低迷，但一直位居世界的前列。特別是中國古代數學對世界數學發展有著不可磨滅的貢獻。《數書九章》中的秦九韶算法就是中國古代數學的一只奇葩。

本節課就針對“秦九韶算法習題”的解答來理解“秦九韶算法”的原理。

習題一：

利用秦九韶算法計算f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1當x=2時的值，需要多少次乘法運算，多少次加法運算？

答案一：共進行了5次乘法運算6次加法運算。

理由一：人教版高中數學必修3第37頁：怎樣求多項式f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1當x=5時的值呢？一個自然的做法是把5代入多項式f（x），計算各項的值，然后把它們加起來。這時我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運算，5次加法運算。另一種做法是先計算x2的值，然后依次計算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結果。這時我們一共做了4次乘法運算，5次加法運算。

因此本題的答案為“共進行了5次乘法運算6次加法運算”。

辨析：按此計算確實為5次乘法運算6次加法運算，但問題為“利用秦九韶算法計算”，而課本在此時還未引出“秦九韶算法”，只是說明有一種做法能夠提高運算效率，在此基礎之上才引出《數書九章》中的秦九韶算法。故此答案不太妥當。

理由二：多項式f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1可以寫成（（（（（x+1）x+1）x+1）x+1）x+1

因此“共進行了5次乘法運算6次加法運算”。

辨析：若此寫法的原理在于剛剛所列的第二種做法，則由先前所列理由判斷，答案不妥；若此寫法的原理在于n次多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…a1）x+a0

=（（anxn-2+an-1xn-3+…a2）x+a1）x+a0

=…

=（…（anx+an-1）x+an-2）x+…a1）x+a0

則此處的an=1，應還有一次的乘法運算。

理由三：人教版高中數學必修3配套教師教學用書第34-35頁：秦九韶算法的特點在于把求f（x）=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0這樣一個n次多項式的值轉化為求n個一次多項式的值，即把求的值轉化為求遞推公式v0=anvk=vk-1x+an-k（k=1，2，…n）的值。通過這種轉化，把運算的次數由至多（1+n）n/2次乘法運算和n次加法運算，減少為至多n次乘法運算和n次加法運算，大大提高了運算效率。

因此本題的答案為“共進行了5次乘法運算6次加法運算”。

辨析：“通過這種轉化，把運算的次數由至多（1+n）n/2次乘法運算和n次加法運算，減少為至多n次乘法運算和n次加法運算”，理解重心應該為：原來至多（1+n）n/2次乘法運算和n次加法運算“減少為”n次乘法運算和n次加法運算。故此答案不太妥當。

答案二：共進行了6次乘法運算6次加法運算。

理由一：人教版高中數學必修3第37頁：把一個n次多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0改寫成如下形式：

f（x）=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…a1）x+a0

=（（anxn-2+an-1xn-3+…a2）x+a1）x+a0

=…

=（…（（an+x+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0

因此多項式f（x）=x6+x5+x4+x3+x2+x+1可以寫成（（（（（1·x+1）x+1）x+1）x+1）x+1）x+1，即“共進行了6次乘法運算6次加法運算”。

辨析：此種寫法是嚴格按公式書寫，當然正確。

理由二：人教版高中數學必修3第38頁：

思考：用秦九韶算法求n次多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+

an-2xn-2+……+a1x+a0當x=x0（x0是任意實數）時的值，需要多少次乘法運算，多少次加法運算？

從這里的問答方式來說蘊含著確定的幾次乘法運算幾次加法運算。即共進行了n次乘法運算n次加法運算。因此“共進行了6次乘法運算6次加法運算”。

辨析：作為最權威的教科書，其每一字都是經過仔細推敲的，“需要多少次乘法運算，多少次加法運算？”回答的應是確定的數。

理由三：利用秦九韶算法的另外一種形式：

因此“共進行了6次乘法運算6次加法運算”。

辨析：通過這種表格化進行計算，沒任何懸念。共進行了6次乘法運算6次加法運算。

其實，秦九韶算法是這樣定義的：

把一個n次多項式f（x）=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0改寫成如下形式：f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

=（anxn-1+an-1xn-2+…a1）x+a0

=（（anxn-2+an-1xn-3+…a2）x+a1）x+a0

=…

=（…（anx+an-1）x+an-2）x+…a1）x+a0

求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即，

v1=anx+an-1

然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即

v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，…vn=vn-1x+a0

這樣，求n次多項式f（x）的值就轉化成求n個一次多項式的值。

每一個一次多項式都進行了一次加法運算一次乘法運算，一共有n步，因此共進行了n次乘法運算和n次加法運算。

習題二：

利用秦九韶算法求多項式f（x）=6x7+4x6+3x4+2x+2當x=2時的值，并計算需要多少次乘法運算，多少次加法運算？

由剛才算法辨析可知：共進行了7次乘法運算和7次加法運算。注意到本題中沒有出現x5，x3，x2項，此時在計算時，我們應該將這些項加上，比如含x3這一項可看做0·x3。解答如下：

根據秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：

f（x）=6x7+4x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+2

=（（（（（（6x+4）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+2

按照從內到外的順序，依次計算一次多項式當x=2時的值：

V0=6；v1=6×2+4=16；

V2=16×2+0=32；？搖V3=32×2+3=67；

V4=67×2+0=134；？搖V5=134×2+0=268；

V6=268×2+2=538；？搖V7=538×2+2=1078.

∴當x=2時，多項式的值為1078.共進行了7次乘法運算和7次加法運算。