解析線性代數(shù)教學(xué)中思維能力的培養(yǎng)

摘要：數(shù)學(xué)運(yùn)算、證明以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動都離不開推理，數(shù)學(xué)的知識體系實(shí)質(zhì)上就是用邏輯推理的方法構(gòu)成的命題系統(tǒng)，因此，推理與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，教學(xué)中應(yīng)注重推理能力的培養(yǎng)。思維能力的培養(yǎng)可以通過概念的形成、規(guī)律的得出、模型的建立、知識的應(yīng)用等過程來實(shí)現(xiàn)。因此，教師在講授線性代數(shù)課程時(shí)，要在傳授學(xué)生線性代數(shù)知識的過程中，訓(xùn)練學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)方法；思維能力

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）14-0142-02

同高等數(shù)學(xué)一樣，線性代數(shù)是理工科各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，也是一種在自然科學(xué)和工程技術(shù)各領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具。與高等數(shù)學(xué)相比，線性代數(shù)更多地從離散的角度研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。線性代數(shù)是19世紀(jì)后期發(fā)展起來的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它是一門將理論、應(yīng)用和計(jì)算融合起來的完美課程，它具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，因此，教師在教學(xué)過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象概括能力、發(fā)散思維能力和空間想象能力。

思維能力是各種能力的核心，它包括分析、綜合、概括、抽象、推理、想象等。思維能力的培養(yǎng)可以通過概念的形成、規(guī)律的得出、模型的建立、知識的應(yīng)用等過程來實(shí)現(xiàn)。因此，教師在講授線性代數(shù)課程時(shí)，要在傳授學(xué)生線性代數(shù)知識的過程中，訓(xùn)練學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、注重推理過程，提高邏輯推理能力

邏輯推理能力是以敏銳的思考分析、快捷的反應(yīng)、迅速的掌握問題核心，在最短時(shí)間內(nèi)作出合理正確的選擇。數(shù)學(xué)運(yùn)算、證明以及數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動都離不開推理，數(shù)學(xué)的知識體系實(shí)質(zhì)上就是用邏輯推理的方法構(gòu)成的命題系統(tǒng)，因此，推理與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，教學(xué)中應(yīng)注重推理能力的培養(yǎng)。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，這就要求學(xué)生要努力尋找準(zhǔn)確簡潔的解題方法。只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

當(dāng)學(xué)生學(xué)完線性代數(shù)的全部內(nèi)容時(shí)，再考慮關(guān)于n階方陣A是否可逆的問題，就不再局限于僅利用矩陣的一些結(jié)論和性質(zhì)了，還可以利用方陣A的秩的性質(zhì)、A的行（列）向量組線性無關(guān)性和齊次方程組只有零解或非齊次方程組有唯一解，以及A的特征值全不為0這些知識進(jìn)行判斷A的可逆性。由此可見，線性代數(shù)各知識點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，這就要求學(xué)生在整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

邏輯推理在數(shù)學(xué)中是普遍存在的，應(yīng)予以重視，除邏輯推理能力而外，更要注意直覺推理能力的培養(yǎng)，因?yàn)橹庇X推理使數(shù)學(xué)思維具有靈活性、敏捷性和創(chuàng)造性，使人們?nèi)ゲ孪搿Ｒ浞掷脤W(xué)科特點(diǎn)，如幾何學(xué)科，適宜地、逐步地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

二、重視分析綜合，培養(yǎng)抽象概括能力

數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心。它具體表現(xiàn)為對概括的獨(dú)特的熱情，發(fā)現(xiàn)在普遍現(xiàn)象中存在著差異的能力，在各類現(xiàn)象間建立聯(lián)系的能力，分離出問題的核心和實(shí)質(zhì)的能力，由特殊到一般的能力，從非本質(zhì)的細(xì)節(jié)中使自己擺脫出來的能力，把本質(zhì)的與非本質(zhì)的東西區(qū)分開來的能力，善于把具體問題抽象為數(shù)學(xué)模型的能力等方面。

線性代數(shù)中n階行列式的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，這個(gè)概念也具有一定的抽象性，因此，教師在教授這個(gè)概念時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生通過分析二階和三階行列式所具有的特點(diǎn)總結(jié)出n階行列式的定義。二階行列式其結(jié)果具有2項(xiàng)，即2！項(xiàng)；每一項(xiàng)中的兩個(gè)元素均是取自不同行不同列的兩個(gè)元素的乘積；每一項(xiàng)前面的正負(fù)號均由元素下標(biāo)排列的逆序數(shù)確定；最后把這2項(xiàng)求和。三階行列式有其類似的結(jié)果，即具有3！項(xiàng)；每一項(xiàng)中的三個(gè)元素均是取自不同行不同列的三個(gè)元素的乘積；每一項(xiàng)前面的正負(fù)號均由元素的下標(biāo)排列的逆序數(shù)確定；最后把這3！項(xiàng)求和。由這兩個(gè)特殊的行列式引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出n階行列式的定義，即n階行列式是一個(gè)算式，其結(jié)果是取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和（共有n！項(xiàng)）。這是僅僅從代數(shù)的角度考慮n階行列式的定義。

教學(xué)中將代數(shù)材料中反映的數(shù)與形的關(guān)系從具體的材料中抽象出來，概括為特定的一般關(guān)系和結(jié)構(gòu)，做好抽象概括的示范工作，要特別注意重視分析和綜合的教學(xué)。在解題教學(xué)中，也要注意去發(fā)掘隱藏在各種特殊細(xì)節(jié)后面的普遍性，找出其內(nèi)在本質(zhì)，善于抓住主要的、基本的和一般性的東西，即教會學(xué)生善于運(yùn)用直覺抽象和上升型概括的方法。培養(yǎng)學(xué)生概括的習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生概括的欲望，遇到一類新的題時(shí)，能經(jīng)常把這種類型的問題一般化，找出其本質(zhì)，善于總結(jié)。

三、一題多解，訓(xùn)練發(fā)散思維能力

發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的最主要的特點(diǎn)，是測定創(chuàng)造力的主要標(biāo)志之一。發(fā)散思維，又稱輻射思維、放射思維、擴(kuò)散思維或求異思維，是指大腦在思維時(shí)呈現(xiàn)的一種擴(kuò)散狀態(tài)的思維模式，它表現(xiàn)為思維視野廣闊，思維呈現(xiàn)出多維發(fā)散狀。

發(fā)散思維從一個(gè)目標(biāo)出發(fā)，沿著各種不同的途徑去思考，探求多種答案的思維，與聚合思維相對。一題多解的教學(xué)，是訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的最好途徑。這是因?yàn)樵诮鉀Q問題時(shí)，將解題的途徑、思想、方法等作為發(fā)散點(diǎn)進(jìn)行發(fā)散，從不同角度、不同途徑多方面尋求答案，又可溝通同一學(xué)科中各個(gè)分支知識之間的聯(lián)系。在教學(xué)中，時(shí)常抓住時(shí)機(jī)組織一題多解的教學(xué)。

例如，計(jì)算行列式D=1 -1 1 x-11 -1 x+1 -11 x-1 1 -1x+1 -1 1 -1的值，有三種解法。第一種解法：把每列均加到第1列，提取公因式x，再把第一列加到2列、4列，得上三角行列式，即得結(jié)果。第二種解法：把已知行列式不含x的項(xiàng)均加上0，即每列都是兩個(gè)數(shù)的和，然后按行列式的性質(zhì)，可以將原行列式拆成個(gè)4階行列式的和，在這些行列式中凡包含兩個(gè)或兩個(gè)以上第二子列的，其值均為0，故只有5個(gè)行列式值不為0，即很容易求出該行列式的最后值。第三種解法：把第二行的-1倍加至第一行，再把第4列加至第3列，按第一行展開，得一個(gè)三階行列式，進(jìn)而求出最后結(jié)果。

這種一題多解的練習(xí)，不僅幫助學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)的知識，而且在尋找更多解法的同時(shí)，訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維。

四、將抽象知識幾何化，提高空間想象能力

空間想象力，是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思維的能力。這種數(shù)學(xué)能力的特點(diǎn)是善于在頭腦中構(gòu)成研究對象的空間形狀和簡明的結(jié)構(gòu)，并能將對實(shí)物所進(jìn)行的一些操作，在頭腦中進(jìn)行相應(yīng)的思考。

從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程來看，代數(shù)和幾何相互滲透不可分割，這是線性代數(shù)的一個(gè)基本特點(diǎn)。線性代數(shù)研究的對象是由向量組成的向量空間，這是幾何對象；矩陣是研究的工具，這是代數(shù)工具。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)于向量空間的幾何問題轉(zhuǎn)化為矩陣的問題，利用矩陣運(yùn)算解決問題，然后再回到幾何的語言給出答案，這樣會使學(xué)生對線性代數(shù)的基本理論和方法有一個(gè)較好的掌握。

線性代數(shù)中關(guān)于對向量組等價(jià)，二維、三維向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)，向量組的秩，向量空間等，都可以通過幾何圖形進(jìn)行研究。在幾何圖形的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠更好地理解抽象的代數(shù)理論。這種將抽象代數(shù)幾何化的方法，既能使學(xué)生更好地理解掌握線性代數(shù)的基本理論知識，又能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，有一舉兩得之功效。

在線性代數(shù)的教學(xué)中，教師不僅要傳授知識，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和思維能力，以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)；學(xué)生不僅要掌握其主要的教學(xué)內(nèi)容和其中的數(shù)學(xué)思想，更重要的是在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)解決問題的能力。

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