淺談歸納和類比在數學教學實踐中的組織實施

摘要：歸納和類比的合情推理在新數學課程標準中被提到了一個對學生創造性培養有著舉足輕重作用的地位，但如何能更好的利用其來培養學生的數學創造力一直困擾著一線教師。本文試從在實踐數學教學中要回歸數學發展情景，培養學生觀察興趣及給予學生足夠學習時間等方面提供一些在數學教學改革中如何培養學生創造力的一些新思路。

關鍵詞：數學思想；歸納；類比；創造力培養

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）14-0125-03

在數學課堂上如何培養學生的創造力是新課程標準的新訴求，雙基到四基教學目標的轉變給學生創造力的培養提供了新的思路。這個思路就是學生在掌握基本知識和技能的基礎上要不斷感悟基本數學思想，并在這個過程中積累基本活動經驗。史寧中教授指出，基本數學思想就是在數學史上能推動數學發展并在我們頭腦中把數學知識都忘掉還留下來的數學東西，具體表現在抽象、推斷、模型三個方面[1]。正如張奠宙先生所說只有將數學思想和基本活動經驗加入到數學課堂的教學目標中，數學的課堂才能構建成一個立體的、有機的、飽滿的三維教學模式[2]，也只有這個三維的教學模式才能對學生的數學創造力有著強有力的培養作用。

從數學歷史的發展長河中看，歸納和類比無疑是推動數學發展的主要工具，從人的十個手指頭類比十進制的產生，費馬定理的猜想，長達近四百多年艱辛的證明歷程及人口增長的數學模型的應用，歸納和類比的數學思想都在其中起著舉足輕重的作用。近觀當前對數學課堂教學中培養學生數學創造力的成果研究，大都認為歸納和類比對于學生的創造力的培養上有著非常重要的作用，這就足可以說明歸納和類比的重要意義所在。但如何才能將歸納和類比的數學思想融入到數學課堂教學實踐中的相關研究相對較少，一些研究成果也只是從歸納和類比在解決一些數學習題的應用和如何在教學設計上體現歸納和類比的數學思想上進行淺層次的剖析，缺乏一定的指導意義。

“教育是個慢功夫”，這是解釋教育不能急功近利的最重要佐證，而數學思想對于學生創造力的培養過程也是一個循序漸進的過程，需要給予學生一定的時間去經歷這個過程。本文就基于如何才能更好地將歸納和類比融入到數學教學實踐中并讓其發揮其應有的培養學生數學創造力作用的目的給出幾點可供實踐的參考建議。

一、學生和教師的觀念應該改變

雖然數學教師對當前的中學數學教材非常熟悉，但是學生對其所將要學習的內容是陌生的，而這個學習的過程是基于學生主觀意義上創造的過程。過程中，學生會通過歸納、類比獲得教材中要求學習的知識，而這個歸納和類比的過程就恰好能給予學生一個難得的能夠讓他們的數學創造力得到鍛煉的機會。因此，教師要首先改變觀念，創建一個具有創造性的課堂，通過自己的努力也完全可以去組織實施好一堂能給予學生充分鍛煉其創造力機會的數學課堂。

伴隨教師觀念改變的同時，也要注重培養學生正確的數學學習觀。克萊因認為，現在的一些數學課程讓學生產生了一種數學家可以輕而易舉地克服任何困難、理所當然地從一個定理到下一個定理的完美推理的幻覺[3]。這樣學生就會處于從一個完美結論到下一個完美結論的接受中，而不會真正感受到一個概念或定理的形成過程，缺乏了數學發展的相應情境，學生就無法經歷數學知識的生成過程，數學創造力的培養也就無從談起。因此，要在數學教學中讓學生形成正確的數學學習觀——數學的每個定理、概念的誕生實際上都經歷了數學家漫長的、艱辛的探索，而我們也要在一點點的數學知識積累、探索中不斷地學習，從而發現學習數學不會再如曾經想象的那樣難。學生數學學習觀的培養自然也離不開教師在數學課堂上的引導，教師要把已經丟失掉的概念產生的情境、定理發現的過程彌補起來，讓學生真正地參與到數學知識的生成過程中，在過程中又不斷地滲透數學思維，那么師生互動、生生互動、學生與知識的互動就會被很好地組織起來，這就給學生創造力的培養創設了有力的客觀環境。

二、培養學生對數學的觀察興趣

在創造了一個有利于培養創造力的客觀環境下，教師還應該注重培養學生觀察數學有序變化的興趣。在數學問題中歸納和類比數學思想的應用都需要先去學會觀察，而這兩種方法也往往是從觀察開始的，當然這種觀察的開始首先還應該來源于學生對于數學某一方面的興趣[4]。由于中學生的數學思維處于一個基本形成但仍在發展的完善期，所以需要從學生觀察數學有序變化這個能給予學生大量有趣的感性材料等方面培養興趣。數學教師應基于他們已有的數學知識引導學生如何觀察這些有序變化，培養學生內在的學習數學的動力，帶領學生通過歸納和類比得到一些他們將要學習的數學結論。例如：等差數列的前N項和公式，首先引導學生觀察大量等差數列的特征，類比從1加到100的簡便算法猜想前N項和公式，最后演繹推理證明學生猜想結論的正確性。這就是所說的是高斯求和公式，高斯能在其他同學都還在苦算的時候就通過以往的知識經驗積累和對數學有序變化的敏銳洞察力快速的找到答案，進而歸納和類比出所有等差數列求和公式以及推斷出其猜想的正確性。不可否認的是，高斯的這些成果正是來源于他對數學的興趣，而他的這種興趣最初就表現在對數學的有序變化上來。

三、要給予學生足夠的參與數學活動的時間

數學創造力的培養是漫長的旅程，歸納類比的數學思想需要給予學生一定的時間，讓學生在參與數學活動中慢慢感悟。例如學生學習平行四邊形的定義，如果讓學生通過觀察一些平行四邊形，他也能類比歸納出平行四邊形的概念，但往往在教學中，教師會給幾個學生還沒有理解透的例子后，就急匆匆地告訴學生四邊形的概念，然后又通過大量的圖形例子和練習題鞏固概念。這樣學生就被迫讓教師拉到了較高的學習層次而失去了思考四邊形定義的機會。從范·希爾學習新知識是分層次的理論上看，學生從所在學習層次向較高層次的飛躍需要做到對處于當前學習層次的深刻“反思”[4]，教師在教學中沒有給予學生足夠的“反思”時間，學生自然就不會學到如何從一個學習層次向另一個層次飛躍的方法。而這種“飛躍”的方法恰恰就包含著歸納和類比的數學思想。因此，每一次學習層次的跨越都需要給予學生足夠的時間去經歷學習過程，教師在這個“飛躍”的過程中不是牽引者而是指路者。所以在這個數學的學習過程中，教師應該學會漸漸放手，給予學生更多時間去參與到數學活動中，讓他們在活動中去思考，在數學課堂上去自主地探索學習，再創造性地學習數學知識。

總之，數學的學習應該回歸其本身發展的規律，正如數學教育家弗賴登塔爾揭示的那樣，學習數學的唯一正確方法就是再創造，也就是讓學生把要學習的數學知識自己去發現或創造出來“[5]。這需要教師站在學生的角度看待學習數學的過程——它是基于學生主觀意義上的創造過程。因此在數學課堂上，教師要充分地利用能讓學生參與到創造性學習數學過程的方法，它無疑就是數學中的歸納和類比的方法。學生在這兩種數學思想的指引下，才會真正積極地去思考、探索、發現；才能真正和他們要學習的知識發生交融性的互動；他們的數學創造力才能得到有力的培養和實質性的鍛煉。

參考文獻：

[1]史寧中.注重過程中的教育[J].人民教育，2012，（7）：32-37.

[2]張奠宙，鄭振初.“四基”數學模塊教學的建構[J].數學教育學報，2011，（5）：16-18.

[3]克萊因.古今數學思想[M].上海科學技術出版社，2009.

[4]波利亞.數學與猜想[M].李心燦，等，譯.北京：科學出版社，2001.

[5]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海教育出版社，1995.

作者簡介：水建軍（1988-），男，漢族，內蒙古呼和浩特人，陜西師范大學碩士研究生，研究方向：數學史與數學教育。