淺議數學建模課程教學與實驗教學

摘要：從數學建模教學內容設計、課堂教學及實驗教學等角度，討論了如何培養學生解決實際問題和創新能力。

關鍵詞：數學建模；數學軟件；創新能力

現階段，許多的數學建模課程教學僅僅是局限于理論教學、課堂教學。但眾所周知的是，首先數學建模這一課程涉及到數學理論中很多方面的專業知識，不僅包括線性代數、高等數學、概率與數理統計、線性和非線性規劃、圖論和數值計算等數學理論知識，還包含一定的計算機應用，如：計算機圖形學，數學軟件Matlab，Lingo，Spss的應用。顯然對學生來說，要掌握這么多的知識是比較困難的。其次，數學建模解決的是實際生活中的許多問題，就必然還要涉及很多的其他學科的知識背景，就更增加了學習的難度。于是有學生說僅有課堂上的學習，感覺是對于數學建模競賽以及實際問題的解決還是有無從下手的感覺。那么，應如何解決數學建模課堂教學與培養學生處理實際問題的能力的關系呢？本文對此進行了一定的探討分析。

一、教學內容設計

首先，課程的教學內容設計注重系統性、應用性、針對性，強調系統化的學習，掌握各類常用的數學模型，包括經典的數學模型和近代發展的數學模型。內容涵蓋代數模型、差分方程模型、微分方程模型、數學規劃模型、概率模型、回歸模型、圖論與網絡模型、神經網絡模型等。其次，課程設置強調數學理論與實際應用并重，既重視理論的完整性又兼顧應用的適用性，內容組織充分考慮學生的數學基礎，同時加深拓展學生的數學基礎和知識面，可以適用于各個年級不同專業的各種水平的要求。

強調案例教學，在掌握各種模型的基礎上，通過案例學會分析問題，建立模型并求解答，提高解決實際問題的能力。通過課內外數學建模案例分析與實踐，訓練學生建立數學模型解決實際問題的動手能力，以及獨立、開闊的思考和勇于創新的精神和意識。比如，在課堂教學中，教材《數學模型》（姜啟源）中有案例：人口增長預測。此案例雖然是出現在緒論部分，但其中所涉及的方法、思想極具代表意義。其中，建立人口指數增長模型用到的微分法，在“制動器試驗臺的控制方法分析”建立電動機驅動電流依賴于可觀測量的數學模型，一方面，可以通過大學物理中理論物理的專業知識找到現有的力矩平衡的微分方程模型，另一方面，也可利用微分法由題設所給條件“能量消耗誤差始終一致”這一條件從較簡單的動力學（中學具有的知識）角度建立微分方程模型。顯然這兩種解決問題的方法其特點是不言而喻的。

同樣地，在“人口增長預測”這一案例中只是提到了人口增長率由美國的近200年來每十年的人口數據通過數值微分的方法得到。在數值計算上，處理數值微分有中心差分公式、三點式公式等處理方法。更方便的是，現在有較多的數學軟件都可以進行數值微分的處理，如Matlab，Mathematica等軟件。在歷年的數學建模競賽中也是經常用到這一方法，如：AMCM-91A題估計水塔的水流量以及今年大學生數學建模競賽A題考慮角速度變化率也要用到數值微分這一方法。所以在課堂教學中，教師就應該引導學生學習和掌握這一數據處理的方法和技巧，明白這一些方法的特點、差異性和實用性。這一案例恰好說明我們在用數學建模的方法解決實際問題時應在具體的應用過程中要做到活學活用，巧妙地將理論與實際相結合。

最后，強調數學建模課程的課堂討論。數學建模這一課程絕不是單純的教師理論授課，它應該是在教授的過程中注意調動學生積極參與，調動其主觀能動性。只有這樣才能學生真正參與到這一課程的學習中去，才能使學生融入到這一課程學習中去，才能開發學生的思維，培養其解決實際問題的能力，成為有創新能力的人才。比如在案例教學：不同規格大小的商品價格。在此案例教學中不僅要從本質上說明商品價格的制定是由單位質量的貨物成本來決定，從實際意義上說明為什么人們在平時生活中購買商品一般從節約的角度都是購買包裝更大的商品，還應該引導學生去討論，去挖掘發現節約的程度隨著商品的規格達到一定程度以后并無多大的變化這一特點。

二、課堂教學與數學實驗相結合

注重課后練習、作業等各個實踐環節的訓練。學生通過自己完成論文，在課堂上相互討論交流。課程中至少一次大作業練習，三人一組合作完成一道數模問題，并最后寫出一篇數模論文。只有學生自己真正地獨立完成作業，才可能使學生學習和掌握到建模的方法、思想。

通過課后練習、作業將數學理論與數學軟件的應用相結合，強調使用數學軟件的能力，讓學生了解和掌握計算方法的基本理論與算法，并在運用數學軟件編寫程序和解決問題的技巧方面得到訓練。在各類模型的掌握的同時，掌握Matlab、Lingo、Spss等數學軟件。現階段，數學軟件的發展是日新月異的，許多的數學問題借助于軟件可使我們能夠更快、更好地解決。比如1988年的美國數學建模競賽題“平板車的裝貨問題”這一線性規劃問題使用工具軟件編程，只需要較短時間即可。再如在2002年數學建模競賽題中涉及到了整數規劃的問題，當時許多學生并不熟悉Lingo軟件的使用。就只能自己去編程解決，卻不能很好解決整數規劃，只好退而求其次，較多學生只能利用單純形法去解決問題，當然就不可能得到很好的解。

讓學生初步具備數學建模能力和較強的運用計算機解決數值計算問題的能力。編寫相應的數學實驗課件，實驗報告引導學生學習和掌握各類軟件的使用。如：對于2001年數學建模競賽的“三維血管的重建”這一問題，編寫實驗報告

實驗 血管的三維重建

[實驗目的及要求]

1.學會使用數值計算知識建立數學模型，從而解決實際問題的方法。

2.了解數據擬合方法的理論，初步掌握MATLAB軟件進行一維多項式擬合的方法。

3.……

[實驗原理]

管道是等徑球的包絡，可看作是球沿中軸線滾動形成，……另外，在指導學生使用數學軟件處理實際問題，還應注意讓學生明白軟件的局限性，并不是有了軟件就能解決一切，在實際應用中還需注意使用技巧。比如2007年“電工杯”全國大學生數學建模競賽中的A題“機組出力的安排”，該問題前面的問題利用數學軟件Lingo都能很快地得以解決，但是在處理最后的問題時，由于數據規模的劇增，再仿照前面的處理此時用軟件LINGO就比較困難了，那么相應地在數學方法上就有一定的改變。

三、推廣和應用

針對課程設置及工科學科特點，為達到循序漸進、理論聯系實際的教學效果，本門課程按照入門、基礎和實踐應用“三個層次”分階段組織安排教學內容，并將部分內容向課外延伸。組織參加多種數模競賽：我校數學建模通過選修課、校內選拔競賽、賽前培訓、強化培訓，參加校內、國內、國際競賽、參加數學建模創新項目等不同層次的教學手段，組織學生參加“全國大學生數學建模競賽”、“電工杯”數模競賽以及蘇北地區數模競賽和華中地區數模競賽。近幾年來，取得較好的數學建模成績。組織學生參與實踐，在工廠企業建立了數學建模實踐教學基地。讓學生在實戰中提高自己，對其競賽成績，不僅在最后學科成績中考慮，而且各學院對該生綜合考評中也給予一定的獎勵，從而激發其學習的積極性，使不同層次的學生都能通過數學建模課程而受益。

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