一題多解與學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

摘要：本文通過(guò)對(duì)具體例子的一題多解來(lái)說(shuō)明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握和數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要性。

關(guān)鍵詞：一題多解；數(shù)學(xué)思維；有效性

在課堂教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)匕才乓活}多解，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系的同時(shí)挖掘?qū)W生“潛在”的數(shù)學(xué)思維能力是很有必要的，是培養(yǎng)學(xué)生充分運(yùn)用已有的知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的突破口，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效性的途徑.本文就舉以下一例進(jìn)行說(shuō)明。

題目：已知0＜?琢＜?仔，sin?琢+cos?琢=■，求tan?琢的值.

思路1：先將sin?琢+cos?琢=■兩邊平方，求出sin?琢cos?琢判斷出?琢的象限，再求出sin?琢-cos?琢通過(guò)解方程組求出sin?琢，cos?琢后可以求得tan?琢.

解法1：將sin?琢+cos?琢=■（1）兩邊平方得sin2?琢+2sin?琢cos?琢+cos2?琢=■，所以sin?琢cos?琢=-■＜0.又0＜?琢＜?仔，所以 sin?琢＞0，cos?琢＜0則sin?琢-cos?琢＞0，所以sin?琢-cos?琢=■=■=■=-■（2）由（1）（2）解得sin?琢=■，cos?琢=-■，所以tan?琢=■=-■.

思路2：如圖1所示，由單位圓可知當(dāng)?琢是第一象限角時(shí)，1＜sin?琢+cos?琢＜2，當(dāng)?琢是第二或第四象限角時(shí)，-1＜sin?琢+cos?琢＜1，當(dāng)?琢是第三象限角時(shí)，-2＜sin?琢+cos?琢＜-1.而已知sin?琢+cos?琢=■＜1，且0＜?琢＜?仔知■＜?琢＜?仔故得sin?琢＞0，cos?琢＜0，從而知tan?琢＜0.利用sin2?琢+cos2?琢=1和tan?琢=■通過(guò)解一元次方程求出tan?琢.

解法2：由sin?琢+cos?琢=■（1）得sin?琢＞0，cos?琢＜0，知tan?琢＜0，又因?yàn)?＜?琢＜?仔，知■＜?琢＜■?仔.即|sin?琢|＞|cos?琢|，從而知tan?琢＜-1.又由（1）得■=■（2），由（2）的左邊分子分母同時(shí)除以cos2?琢得并整理得12tan2?琢=25tan?琢+12=0，解之得tan?琢=-■（舍去）或tan?琢=-■.

思路3：先將sin?琢+cos?琢=■兩邊平方，求出sin?琢cos?琢，判斷出?琢的象限，再利用sin2?琢+cos2?琢=1，通過(guò)解方程組求出sin?琢，cos?琢后可以求得tan?琢.

解法3：將sin?琢+cos?琢=■（1）兩邊平方得sin2?琢+2sin?琢cos?琢+cos2?琢=■，所以sin?琢cos?琢=-■＜0.又0＜?琢＜?仔，所以sin?琢＞0，cos?琢＜0.由sin?琢+cos?琢=■sin2?琢+cos2?琢=1解之得sin?琢=■或sin?琢=-■（舍去），所以cos?琢=-■=-■，從而tan?琢=■=-■.

思路4：先將sin?琢+cos?琢=■兩邊平方，求出sin?琢cos?琢，判斷出?琢的象限，再由sin?琢+cos?琢=■可知|sin?琢|＞|cos?琢|，通過(guò)解方程組求出sin?琢，cos?琢后可以求得tan?琢.

解法4：將sin?琢+cos?琢=■（1）兩邊平方得sin2?琢+2sin?琢cos?琢+cos2?琢=■，所以sin?琢cos?琢=-■＜0.（2）又0＜?琢＜?仔，所以sin?琢＞0，cos?琢＜0，又由（1）知|sin?琢|＞|cos?琢|（3），由sin?琢+cos?琢=-■sin2?琢+cos2?琢=1解之得sin?琢=■，sin?琢=-■（舍去），sin?琢=■，sin?琢=-■（舍去）.當(dāng)sin?琢=■時(shí)，cos?琢=-■=-■.當(dāng)sin?琢=■時(shí)，cos?琢=-■=-■，這與（3）相矛盾，故舍去.從而tan?琢=■=-■

變式：已知sin?琢-cos?琢=■，求tan?琢的值.

解法1：由sin?琢-cos?琢=■，兩邊平方得sin?琢cos?琢=■＞0，則sin?琢，cos?琢同號(hào)，故?琢為一、三象限角，（1）當(dāng)?琢為第一象限角時(shí)，則sin?琢＞0，cos?琢＞0，從而有sin?琢+cos?琢＞0.

sin?琢+cos?琢=■=■=■

由方程組sin?琢-cos?琢=■sin?琢+cos?琢=■

解之得sin?琢=■cos?琢=■，所以tan?琢=■=■

（2）當(dāng)?琢為第三象限角時(shí)，則sin?琢＜0，cos?琢＜0，則sin?琢+cos?琢＜0，從而有sin?琢+cos?琢=-■=-■=-■

由方程組sin?琢-cos?琢=■sin?琢+cos?琢=-■解之得sin?琢=-■cos?琢=-■，

所以tan?琢=■=■

解法2：由sin?琢-cos?琢=■兩邊平方得

sin2?琢-2sin?琢cos?琢+cos2?琢=■，sin?琢cos?琢=■＞0，

則sin?琢，cos?琢同號(hào)，故tan?琢=■＞0.

又由■=■ （1）

由（1）的左邊分子分母同時(shí)除以cos2?琢并整理得24tan2?琢-50tan?琢+24=0，解之得tan?琢=■或tan?琢=■

解法3：由sin?琢-cos?琢=■兩邊平方得sin?琢cos?琢=■＞0則sin?琢，cos?琢同號(hào)，故?琢為一、三象限角，由方程組sin?琢-cos?琢=■sin2?琢+cos2?琢=1解之得sin?琢=-■cos?琢=-■或sin?琢=■cos?琢=■

故tan?琢=■或tan?琢=■.

解法4：將sin?琢-cos?琢=■（1）兩邊平方得sin2?琢-2sin?琢cos?琢+cos2?琢=■，所以sin?琢cos?琢=■＞0.則sin?琢，cos?琢同號(hào).由方程組sin?琢cos?琢=■sin2?琢+cos2?琢=1解之得sin?琢=-■cos?琢=-■或sin?琢=■cos?琢=■

故tan?琢=■或tan?琢=■.

以上題目和變式題分別用四種方法進(jìn)行解答，從不同的角度去分析問(wèn)題，不依賴常規(guī)，從多方面、多角度去思考問(wèn)題，這十分有利于學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維的培養(yǎng)。