淺析中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)中應(yīng)注意的問題

摘要：數(shù)學(xué)命題是高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)邏輯與證明的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)推理證明之間有著重要的聯(lián)系。對數(shù)學(xué)命題知識的學(xué)習(xí)有利于數(shù)學(xué)問題的解決和數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。本文主要從教師角度出發(fā)，通過對數(shù)學(xué)命題教學(xué)中常常出現(xiàn)的問題以及各種數(shù)學(xué)資料、論文中出現(xiàn)的問題等的研究，提出如何在教學(xué)時有效地進行命題知識的引入，數(shù)學(xué)命題的整體學(xué)習(xí)，以及對簡易邏輯知識的學(xué)習(xí)提出了一些建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)命題；數(shù)理邏輯；否命題

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A?搖 文章編號：1674-9324（2013）33-0113-02

一、什么是命題

什么是命題，高中教材中對命題的定義是：能夠判斷真假的語句叫做命題。判斷分為真假判斷，相應(yīng)的命題就有了真假命題，我們把判斷結(jié)果為真的命題叫做真命題，把判斷結(jié)果為假的命題稱為假命題。在這里還要注意的是一種形式的判斷，它也屬于判斷，但不是命題，被稱為開語句，如“3＞1”和“x＞1”，雖然他們都是判斷語句，但是前者是命題，后者由于無法判斷其真假，是開語句。根據(jù)數(shù)學(xué)命題的復(fù)雜程度可以將其分為簡單命題和復(fù)合命題。

1.簡單命題。簡單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種，性質(zhì)命題就是判斷某事物具有或不具有某種性質(zhì)的命題。其特點是由主項、謂項、量項和聯(lián)項構(gòu)成。主項表示被判斷的對象；謂項表示主項的性質(zhì)；量項表示主項數(shù)量，分為全稱量項和特稱量項，全稱量項常用“一切”、“所有”等詞語表達，特稱量詞用“有些”、“存在”等詞語表達；聯(lián)項表示主項與胃項的聯(lián)系，分為肯定聯(lián)項和否定聯(lián)項，前者用“是”、“有”表示，后者常用“不是”、“沒有”表示。關(guān)系命題是關(guān)于斷言某些對象與對象之間關(guān)系的命題。性質(zhì)命題與關(guān)系命題不是絕對的，比如命題“實數(shù)的平方大于零”既可看成關(guān)系命題，也可看成性質(zhì)命題，它是一個全稱命題。

2.怎么把一個簡單命題寫成“若p，則q”的形式。其實任何一個簡單命題都可以寫成“若p，則q”的形式，這里的 p和q既可以是命題，也可以是開語句，但是“若p，則q”整體就一定構(gòu)成了一個命題。例如，“若x2+y2=0，則x，y全為0”，這里的p與q就是開語句。其中p是這個命題的條件，q是這個命題的結(jié)論。筆者看到有些論文里面寫到否命題只針對“若p，則q”形式的命題提出的，而對其他命題不能寫出的。其實這個觀點是錯誤的，因為我們在寫一個命題的否命題時必須先弄清楚它的條件和結(jié)論，而任何一個命題都是有條件和結(jié)論的。一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題叫互否命題，把其中一個叫原命題，另一個命題就叫原命題的否命題。但是其實對于任何一個命題都首先可以還原成“若p，則q”，所以其實任何命題都可以寫出其否命題。因此一定會將一個命題，尤其是簡單命題寫成“若p，則q”的形式。例如，4是偶數(shù)，如果把它寫成“若p，則q”的形式就是“若一個數(shù)是4，則這個數(shù)是偶數(shù)”。還有一種情況就是學(xué)生在把同一個命題寫成“若p，則q”時出現(xiàn)多種情況的答案。

3.復(fù)合命題。復(fù)合命題是由兩個或者兩個以上的簡單命題通過邏輯連接詞結(jié)合起來而構(gòu)成的命題。成用的邏輯連接詞有以下幾種：否定合取、析取、蘊含、等價，形成的命題分別為負命題（非p）、聯(lián)言命題（p∧q）、選言命題（ p∧q）、假言命題和等價命題。①“非p”命題其實就是對一個命題的否定，但它本身就構(gòu)成一個復(fù)合命題。“非p”命題和命題p是矛盾命題，也就是原命題p為真時，“非p”為假，原命題為假時，“非p”為真。②聯(lián)言命題（p∧q），即給定命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“且”來構(gòu)成的復(fù)合命題“p且q”。這種命題的真假判斷當且僅當p和q都是真命題時“p且q”才是真命題，否則為假命題。③選言命題（p∨q），即給定命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“或”構(gòu)成的復(fù)合命題。這種命題的判斷是當p或q中有一個是真命題是“p或q”就是真命題。④蘊含命題或者假言命題，即把兩個命題用“若……則……”的形式連接起來得到新命題，記作p→q，其中“若p”表示的是題設(shè)，“則q”表示的是結(jié)論。當且僅當p真q假時，p→q為假，其他情況均為真。⑤等價命題，將兩個命題p、q用“當且僅當”連接，構(gòu)成復(fù)合命題“p當且僅當q”，這樣的命題稱作等價命題。

4.復(fù)合命題的判斷誤區(qū)。一般認為，不含邏輯連接詞的命題是簡單命題，由簡單命題和邏輯連接詞所組成的命題是復(fù)合命題。但是這樣的定義是比較模糊的，如果對于一個命題不加以思考而直接根據(jù)其定義去理解常常會引起混亂，矛盾。事實上，不含邏輯連接詞的命題不一定是簡單命題。比如，命題“棱形的對角線垂直平分”，我們可以把這個命題寫成“棱形的對角線垂直且棱形的對角線平分”這樣的復(fù)合命題。而含有邏輯連接詞的命題也不一定是復(fù)合命題。因此判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題，不能簡單地看文字敘述或組合形式，而要具體情況具體分析。

二、命題的否定

命題的否定其實就是上面在講復(fù)合命題時所說的“非 p”，它是將一個完整的命題p進行否定，而不是對其條件或者結(jié)論否定。而對于簡單命題的否定和復(fù)合命題的否定是有一定區(qū)別的，所以在進行命題的否定時首先要根據(jù)簡單命題和復(fù)合命題的判斷方法進行判斷。再對其進行整體的否定。因此，對于一個命題，如果原命題是真的，那么其命題的否定必然是假的，相反，原命題是假的，命題的否定就是真的。

1.簡單命題的否定。簡單命題分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題，性質(zhì)命題分為全稱命題和特稱命題。對于全稱命題和特稱命題的否定，一般要對“量項”和“聯(lián)項”同時進行否定，全稱量詞與特稱量詞互為否定，即否定全稱是特稱，否定特稱是全稱。否定的肯定是否定，否定的否定是肯定。一般的，命題“對所有的x∈U，p（x）”的否定形式是“存在某一個x∈U，非p（x）”；命題“存在某一個x∈U，p（x）”的否定形式是“對所有的x∈U，非p（x）”。在實際的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生進行意義上的理解，而不能進行形式化的記憶。

2.復(fù)合命題的否定。①“p且q”形式的否定，對于復(fù)合命題“p∧q”形式的非命題（或否定命題），可應(yīng)用德摩根定律進行構(gòu)造。德摩根定律：?劭（p∧q）?圳?劭p∨?劭q。例如，命題“5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)”的否定命題為“5不是10的約數(shù)或5不是15的約數(shù)”。原來的命題與其否定命題一假一真、一真一假，它們構(gòu)成了一對矛盾命題。②“p或q”形式的否定，對于復(fù)合命題“p∨q”的非命題（或否定命題），也可應(yīng)用德摩根定律進行構(gòu)造。德摩根定律：?劭（P∨Q）=?劭P∧?劭Q。例如，寫出命題“a=±5（a是常數(shù)）”的否定形式。否定命題：a≠5且a≠-5。③“若p，則q”形式的否定，“若p，則q”形式的命題叫做假言命題，當且僅當p真q假時，此命題是假命題，否則是真命題。對于“若p，則q”型命題的否定，是存在爭論較多的一個問題，該命題的否定形式為p∧?劭q，不是若p則非q。例如，寫出命題p：“若2+2≠4，則2+3≠5”的否定命題。解：上面給出的法則可知，命題p的否定命題?劭p：“2+2≠4且2+3=5”。在例題中的?劭p決不能寫成“若2+2≠4，則2+3=5”。這個命題和p都是真命題，不符合p與?劭p一真一假、一假一真的要求。

數(shù)學(xué)命題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要組成部分，是數(shù)理邏輯與證明的基礎(chǔ)，并與概念、推理之間存在著密切的聯(lián)系。進行有效地數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)對于學(xué)生知識的增長具有重要的意義。但數(shù)學(xué)命題的相關(guān)內(nèi)容卻是比較難掌握的一部分知識，所以教師要尊重學(xué)生的主體地位，做好命題的引入，講解和應(yīng)用，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上加深記憶。