空間機(jī)構(gòu)自由度分析及教學(xué)探索

摘要：機(jī)械原理課程中機(jī)構(gòu)自由度研究的范疇大多是平面機(jī)構(gòu)，本文著重研究空間機(jī)構(gòu)的自由度問題，分析了三維空間中的剛體及其所組成的空間機(jī)構(gòu)自由度的組成和特點(diǎn)，總結(jié)歸納空間機(jī)構(gòu)自由度的計(jì)算方法，并對(duì)一些特殊的機(jī)構(gòu)自由度分析方法進(jìn)行探討，在機(jī)械原理課程教學(xué)中作為相關(guān)內(nèi)容的補(bǔ)充，取得了較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：空間機(jī)構(gòu)；機(jī)構(gòu)自由度分析；機(jī)械原理；教學(xué)探索

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）33-0243-03

機(jī)構(gòu)自由度分析是機(jī)械原理課程和機(jī)構(gòu)學(xué)研究的基礎(chǔ)與重要內(nèi)容。機(jī)構(gòu)是指可以完成規(guī)定動(dòng)作的結(jié)構(gòu)組合，是可動(dòng)的，機(jī)構(gòu)自由度分析是研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)時(shí)的重要參數(shù)。在機(jī)械原理課程研究范疇和教學(xué)中，研究對(duì)象大多是平面機(jī)構(gòu)，對(duì)空間機(jī)構(gòu)涉及甚少，而在實(shí)際中空間機(jī)構(gòu)卻占有重要地位，本文著重對(duì)空間機(jī)構(gòu)的自由度分析和教學(xué)探索進(jìn)行研討。

一、自由度概念

（1）自由構(gòu)件（剛體）自由度：自由構(gòu)件（剛體）擁有的獨(dú)立相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)目。一個(gè)物體（剛體）在三維空間中有6個(gè)自由度，分別是繞3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿3個(gè)坐標(biāo)軸的移動(dòng)。（2）運(yùn)動(dòng)副自由度：運(yùn)動(dòng)副是構(gòu)件間的一種活動(dòng)連接，它既限制所連接的兩個(gè)構(gòu)件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，提供一定約束，又保留了構(gòu)件間的一定相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所保留的獨(dú)立相對(duì)運(yùn)動(dòng)數(shù)目稱為運(yùn)動(dòng)副的自由度。（3）機(jī)構(gòu)自由度：指機(jī)構(gòu)中各活動(dòng)構(gòu)件相對(duì)于機(jī)架所具有的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的數(shù)目，即主動(dòng)件或可控關(guān)節(jié)的數(shù)目[1]。

二、運(yùn)動(dòng)副分類

用f表示運(yùn)動(dòng)副的自由度，c表示運(yùn)動(dòng)副提供的約束數(shù)目，則二者具有如下關(guān)系：f=6-c（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)副的自由度可以將運(yùn)動(dòng)副分為5類。

1.Ⅰ類副（f=1，c=5）：轉(zhuǎn)動(dòng)副（R）：只保留一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。移動(dòng)副（P）：只保留一個(gè)移動(dòng)自由度。

2.Ⅱ類副（f=2，c=4）：圓柱副（C）：具有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和一個(gè)移動(dòng)自由度。球銷副（S′）：具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

3.Ⅲ類副（f=3，c=4）：球面副（S）：具有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。平面副（E）：具有兩個(gè)移動(dòng)自由度和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

4.Ⅳ類副（f=4，c=2）：圓柱平面副（CE）：具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和兩個(gè)移動(dòng)自由度。球槽副（SG）：具有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和一個(gè)移動(dòng)自由度。

5.Ⅴ類副（f=5，c=1）：球平面副（SE）：具有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和兩個(gè)移動(dòng)自由度。

三、機(jī)構(gòu)自由度分析

1.空間（一般）機(jī)構(gòu)自由度。在空間機(jī)構(gòu)中，每個(gè)可動(dòng)構(gòu)件在三維空間有6個(gè)自由度，若該機(jī)構(gòu)有n個(gè)可動(dòng)構(gòu)件，則構(gòu)件自由度總數(shù)為6n。其中：每個(gè)Ⅰ類副提供5個(gè)約束，若機(jī)構(gòu)中有p1個(gè)Ⅰ類副，將提供5p1個(gè)約束。每個(gè)Ⅱ類副提供4個(gè)約束，若機(jī)構(gòu)中有p2個(gè)Ⅱ類副，將提供4p2個(gè)約束。每個(gè)Ⅲ類副提供3個(gè)約束，若機(jī)構(gòu)中有p3個(gè)Ⅲ類副，將提供3p3個(gè)約束。每個(gè)Ⅳ類副提供2個(gè)約束，若機(jī)構(gòu)中有p4個(gè)Ⅳ類副，將提供2p4個(gè)約束。每個(gè)Ⅴ類副提供1個(gè)約束，若機(jī)構(gòu)中有p5個(gè)Ⅴ類副，將提供1p5個(gè)約束。

即：F=6n-（5p1+4p2+3p3+2p4+p5）

=?搖6n-［（6p1-p1）+（6p2-2p2）+（6p3-3p3）+（6p4-4p4）+（6p5-5p5）］=6n-6■pi+■ipi （2），式中：■pi——機(jī)構(gòu)中各類運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目之和；■ipi——機(jī)構(gòu)中各類運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目之和。令p=■p，■fi=■ipi。則機(jī)構(gòu)的一般自由度計(jì)算公式為：F=6（n-p）+■fi （3），式中：n——可動(dòng)構(gòu)件數(shù)目；p——各類運(yùn)動(dòng)副數(shù)目總和；■fi——各類運(yùn)動(dòng)副自由度數(shù)目總和[2，3]。

2.機(jī)構(gòu)自由度分析應(yīng)注意的問題。之所以有時(shí)運(yùn)用前面介紹的自由度計(jì)算方法不能得到正確的結(jié)果，是由于某些特殊的機(jī)構(gòu)存在過約束問題。在這些機(jī)構(gòu)中，由于運(yùn)動(dòng)副位置的特殊布置或者機(jī)構(gòu)中的特殊幾何約束條件的存在，使得機(jī)構(gòu)自由度發(fā)生了變化，在計(jì)算此類過約束機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)應(yīng)加以額外考慮。①公告約束m。當(dāng)機(jī)構(gòu)中所有構(gòu)件都受到相同的約束時(shí)，它們將失去相同的基本運(yùn)動(dòng)。把各構(gòu)件共同失去的相同基本運(yùn)動(dòng)數(shù)目，稱為公共約束，用m表示。由機(jī)構(gòu)的一般自由度計(jì)算公式（2）可以看出，當(dāng)計(jì)算閉鏈機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，若機(jī)構(gòu)的公共約束為m，則相當(dāng)于多減去了m個(gè)約束，故在計(jì)算時(shí)應(yīng)該將多減去的公共約束m加上。②虛約束（消極約束）λ0：機(jī)構(gòu)中的約束有些往往是重復(fù)的，這些重復(fù)的約束對(duì)構(gòu)件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)不起獨(dú)立的限制作用，稱之為虛約束或消極約束，機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)應(yīng)先將其除去后再進(jìn)行。應(yīng)當(dāng)指出的是，從機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析，虛約束是多余的，但從提高構(gòu)件的剛度和改善機(jī)構(gòu)的受力條件來(lái)說(shuō)卻是有益的。如圖3所示的平行四桿機(jī)構(gòu)中，中間的連桿EF與AB和CD桿平行，對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不起獨(dú)立的限制作用，是虛約束，計(jì)算時(shí)應(yīng)該除去，但是從提高機(jī)構(gòu)的受力條件出發(fā)卻是有意義的。③局部自由度f(wàn)t：機(jī)構(gòu)中，某些運(yùn)動(dòng)副或運(yùn)動(dòng)鏈的運(yùn)動(dòng)自由度只在局部起作用，對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)沒有影響，稱為局部自由度，不應(yīng)參與整個(gè)機(jī)構(gòu)計(jì)算。④消極自由度f(wàn)p：由于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的特殊幾何條件，使機(jī)構(gòu)中原有自由度中的一些不起運(yùn)動(dòng)學(xué)作用或作用重復(fù)，稱之為消極自由度。如圖3中D處的球面副，所擁有的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度只有繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)具有意義，其余的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)在機(jī)構(gòu)中不起作用，故在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)應(yīng)減去。需要指出，消極自由度與局部自由度在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)沒有本質(zhì)區(qū)別，可以按照局部自由度來(lái)處理。

四、幾種特殊機(jī)構(gòu)自由度

1.空間開鏈機(jī)構(gòu)自由度。空間開鏈機(jī)構(gòu)中，可動(dòng)構(gòu)件數(shù)目與運(yùn)動(dòng)副數(shù)目相等，即有n=p，將其代入式（3）可得：F=■fi （4），由此可見，開鏈機(jī)構(gòu)的自由度等于機(jī)構(gòu)中各類運(yùn)動(dòng)副自由度數(shù)目之和[4]。計(jì)算圖1中所示機(jī)械手的自由度。該機(jī)械手為一個(gè)空間開鏈機(jī)構(gòu)，有4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副、一個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)圓柱副。其中，轉(zhuǎn)動(dòng)副與移動(dòng)副自由度數(shù)為1，圓柱副自由度數(shù)為2。

因此，F(xiàn)=■fi=4+1+2=7，該機(jī)械手自由度數(shù)為7，需要有7個(gè)主動(dòng)件。在機(jī)械人相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域中，習(xí)慣上不將末端執(zhí)行器部分參與機(jī)構(gòu)的相關(guān)計(jì)算。

2.單環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)自由度。單環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)有p-n=1，代入式（3）得：F=■fi-6 （5）

計(jì)算圖2所示機(jī)構(gòu)的自由度。

按空間機(jī)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，則構(gòu)件5兩端的球面副E和F均為虛約束，應(yīng)除去不參與計(jì)算；■fi=6；m=3；fp=2；ft=0。

F=6（n-p）+■fi+m-fp-ft=6（3-4）+6+3-2-0=1

若按平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，則構(gòu)件5為兩端的球面副E和F均為虛約束，不參與計(jì)算，D處的球面副在平面機(jī)構(gòu)中等同于轉(zhuǎn)動(dòng)副。F=3n-2pl-ph=9-2×4-0=1

3.多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)自由度。使用“拆開末桿法”，空間單環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)自由度可由下式計(jì)算：F=■fi-λ （6）若為多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)，則為：F=■fi-■λ1 （7），式中：■fi——相當(dāng)于把閉鏈機(jī)構(gòu)末桿拆開后的開鏈機(jī)構(gòu)自由度；■λ1——多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)中各閉環(huán)末桿拆開后的自由度之和；λ——拆開后的閉鏈機(jī)構(gòu)末桿自由度；L——多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)閉環(huán)數(shù)。

在實(shí)際的機(jī)構(gòu)學(xué)研究和機(jī)械原理課程教學(xué)中，空間機(jī)構(gòu)較為常見，在進(jìn)行自由度研究時(shí)依據(jù)平面機(jī)構(gòu)的自由度理論已經(jīng)不能滿足要求，本文對(duì)空間機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了有益探索，分析了剛體、運(yùn)動(dòng)副以及空間機(jī)構(gòu)的自由度問題，對(duì)空間機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)與自由度分析方法進(jìn)行了歸納研究，總結(jié)了自由度分析時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)問題，并對(duì)一些結(jié)構(gòu)特殊的機(jī)構(gòu)進(jìn)行了自由度分析探討。

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作者簡(jiǎn)介：吳昊（1985-），男，云南蒙自人，碩士研究生，講師，主要從事機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)與CAD/CAE/CAM方面的教學(xué)與科研工作。