數學分析中極限求法的教學探討

摘要：極限思想貫穿了數學分析課程內容的始終，極限計算是數學分析課程中的一個重要內容.由于極限計算的方法分布在數學分析課程的不同章節，學生不能系統地掌握極限的計算，對此筆者根據自己的教學在這方面進行一些探討.在教學中讓學生掌握極限計算的各種方法，不但可以準確簡捷地計算極限，而且可以培養提高學生分析和解決問題的能力.

關鍵詞：數學分析；函數極限；計算

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）33-0097-03

極限是數學分析課程中最重要、最基本的概念之一.極限思想貫穿數學分析課程內容的始終，極限計算是數學分析課程中的一個重要內容.極限計算的方法分布在數學分析課程的不同章節，學生不能很好地系統地掌握極限計算的方法。對此筆者根據自己多年的教學在這方面進行一些總結，對數學分析中的極限計算方法進行系統的分析探討，讓學生掌握極限計算的各種方法，開拓學生視野，培養學生的綜合解題能力。

一、極限計算的基本方法

1.利用極限的四則運算法則計算極限。利用極限的四則運算法則求極限是最基本、最直接的方法，但必需注意適用的條件極限.有時可以直接利用極限的四則運算法則即能計算，有時可能無法直接利用極限的四則運算法則進行計算，這就要求我們對所給的對象進行化簡、變形處理，然后再利用四則運算法來計算。

2.利用兩邊夾定理計算極限。利用兩邊夾定理可將考慮的對象進行適當縮小和放大，從而得到原對象的極限。

3.利用單調有界準則計算極限。這種方法適用于求數列的極限，應用單調有界準則計算數列的極限時，首先可用數學歸納法或不等式的放縮法來討論數列{xn}的單調性和有界性，然后再令■xn=a，然后解關于a的方程，從而求得出■xn=a.

4.利用兩個重要極限計算極限。利用兩個重要極限計算極限關鍵在于將考慮對象化成滿足重要極限條件的形式.

5.利用洛必達法則計算極限。這種方法適用求未定式■型和■型的極限計算，其他的未定式極限都需先化為■型或■型后再求極限，但要注意這種方法只適用于導數存在的形式。

6.利用函數的連續性計算極限。因為一切初等函數在其定義區間內都是連續的，所以如果f（x）是初等函數，且x0是f（x）的定義區間內的點，則■f（x）=f（x0），從而計算極限就等于計算該點處的函數值。以上方法是計算極限的基本方法，作為大學數學專業的學生是必須熟練掌握的。

二、極限計算的一些特殊方法

1.利用左右極限計算極限。函數f（x）在x0處極限存在的充要條件是在該點處它的左極限及右極限都存在且相等，且■f（x）=■f（x）=■f（x）.這種方法對分段函數求極限問題應用尤為重要，它是計算分段函數求極限問題的有力工具。

例1.已知f（x）=2xx＞00 x=01+x2x＜0，求■f（x）.分析：由于f（x）是分階函數，計算f（x）在分階點處的極限只能通過計算該點處它的左極限及右極限得到■f（x）.而■f（x）=■2x=1，■f（x）=■（1+x2）=1，于是■f（x）=1.

2.利用無窮小的性質計算極限。

例2.求■（x2+y2）sin■=0.分析：由于x2+y2在（x，y）→（0，0）時是無窮小，sin■≤1是有界量，于是得到 ■（x2+y2）sin■=0.

3.利用等價無窮小計算極限。利用等價無窮小代換求函數的極限時，一般只在以乘除形式出現時使用，同時還應該熟悉一些常用的等價無窮小。

例3.計算■■.分析：由于■-1：■（x→0），1-cosx：■（x→0），于是■■=■■=1.

4.利用導數定義計算極限。由于f'（x）=■■，從而可以利用導數定義計算極限。

例4.證明：若f'（x0）存在，則■■=2f'（x0）.分析：將題中極限表達式變形為導數定義中的極限形式表示即可證明。

5.利用定積分定義求極限。由于■f（x）dx=■■f（ξi）Δxi，因而可把黎曼和■f（ξi）Δxi的極限轉化為定積分■f（x）dx，轉化過程掌握好兩個關鍵：一是由f（ξi）確定被積函數f（x），二是由Δxi確定積分區間［a，b］.當在定積分存在的前提下，我們選取區間［a，b］某種特殊的分割T和區間［a，b］一個特殊的點集{ξi}，可以得到一類特殊的和式的極限，從而可以利用定積分解決此類函數極限的求值，即當所求極限的表達式或經過變換后的表達式是一個 n項和的形式時，可以考慮用定積分定義來計算， 其關鍵在于把和式寫成積分和的形式。

例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析： 對所求極限進行變形：■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f（x）=sinx在［0，π］區間上的一個積分和.這里所取的是等分分割。Δxi=■，ξi=■為小區間 ［xi-1，xi］=■，■的左端點，i=1，2，…，n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■（-cosx）π0=■.

6.利用級數收斂的必要條件計算極限。利用級數收斂的必要條件：若■un收斂，則■un=0.運用這個方法首先判定級數收斂，然后求出它的通項的極限。

例6.求■■.分析：設un=■，由比值判別法知■un收斂，這樣就得到了■■=0.

7.利用微分中值定理或積分中值定理計算極限。

例7.求■■sinnxdx.分析：由于sinnx在0，■滿足積分中值定理的條件，從而在0，■至少存在一點ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ，于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0.

8.利用麥克勞林展開式或泰勒展開式計算極限。設函數f（x）在x=0的某個鄰域內有定義且f（n）（0）存在，則f（x）的具有皮亞諾余項的麥克勞林展展開式為f（x）=f（0）+f'（0）x+■x2+…+■xn+0（xn），對某些較復雜的求極限問題，可以利用基本初等函數帶皮亞諾型余項的泰勒公式來求極限。

例8.計算■■.分析：利用基本初等函數帶皮亞諾型余項的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0（x4），e■=1+-■+■+0（x4）.于是將上兩式代入所求極限即得■■=-■.

9.利用級數的和函數計算極限。計算此類極限時常可以輔助性的構造一個函數項級數使得要求的極限恰好是該函數項級數的和函數在某點的值。

例9.計算■■（-1）n■x2n+1.分析：設S（x）■（-1）n■x2n+1，從而只要計算出S（x）即能計算所求的極限。利用函數項級數和函的分析性質容易計算出S（x）=arctanx，x∈［-1，1］，于是得到：■■（-1）n■x2n+1=■arctanx=■.

以上歸納了數學分析課程中計算極限的一些方法，當然還有一些其他的計算方法.在講授完數學分析的課程之后，教師如果能系統地對極限計算方法進行總結，并適當布置一定的數量的課外習題讓學生去做，要求學生根據題目的不同靈活選擇適當的方法，一定起到事半功倍的效果，那么學生對有關極限的計算就比較容易解決了，從而培養提高學生分析和解決問題的能力。

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基金項目：本文由國家自然科學基金項目（11161018）和廣西教育廳科研項目（201010LX463、201106LX589）資助

作者簡介：林遠華（1964-），男，副教授，碩士，研究方向：微分方程；盧鈺松（1979-），女，講師，碩士，研究方向： 概率統計。

通訊作者：林遠華，盧鈺松。