巧用基底法和坐標(biāo)法解決平面向量數(shù)量積問題

摘要：本文主要介紹了在求平面向量數(shù)量積時的兩種常用的方法：基底法和坐標(biāo)法，對這兩種方法的使用條件做了適當(dāng)?shù)年U述，并通過對比對這兩種方法之間的差異和聯(lián)系進行了適當(dāng)?shù)姆治?

關(guān)鍵詞：數(shù)量積；基底法；坐標(biāo)法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）23-0084-02

平面向量在高考中占有非常重要的地位，它不僅可以單獨命題，也可以與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)以及解析幾何相結(jié)合來考查，充分體現(xiàn)了平面向量作為一種工具在教材中的突出地位.而數(shù)量積作為平面向量的核心內(nèi)容也就成為了各類考試的必出題.

我們知道數(shù)量積ab在知道兩個向量的模和夾角時只需利用其定義∣a∣∣b∣cos來求，或者在知道兩個向量的坐標(biāo)a=（x1，y1），b=（x2，y2），時可用坐標(biāo)公式ab=x1x2+y1y2來求即可，但是很多問題中要求數(shù)量積的兩個向量并不具備上述條件，比如：

例1：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC上一點，CD=2BD，則？搖■·■=？搖？搖

分析：該題直接用定義■·■=∣■∣·∣■∣cos∠ADC求解雖說可行，但運算煩瑣.我們換個角度考慮，題中已知兩向量■和■的模和夾角，意味著它們的數(shù)量積值很容易求，因此如能用這兩個向量作為基底表示■和■，進而轉(zhuǎn)化成基底之間的數(shù)量積運算（可稱之為基底法），那么這道題就容易解決了.解法如下：

解：■·■=（■+■）·（■-■）

=（■+■■）·（■-■）

=（■■+■■）·（■-■）

=■■2+■■·■-■■2=-■

其實很多能用基底法解決的數(shù)量積問題如果能夠合理建系，利用坐標(biāo)求數(shù)量積（可稱之為坐標(biāo)法），也不失為一種好辦法.解答如下：

解：建系如圖，易得A（0，0），B（2，0），C（-■，■），

由■=■+■=■+■■可得■=（■，■），又■=（-■，■），即得=■·■=-■.

我們再細(xì)細(xì)琢磨一下，不難發(fā)現(xiàn)，其實坐標(biāo)法不過是基底法的特殊化，就是單位正交基底法，而用坐標(biāo)來處理之后的幾何問題在求解過程中，特別是在求某個點的坐標(biāo)時，我們可以運用直線方程求交點的辦法來處理，這樣會更加自然，可操作性強.比如：

例2：在△ABC中，A=60°，AB=3，AC=2，D是AC中點，點E在AB邊上，且AE=■EB，BD與CE交于點M，N是BC的中點，則■·■？搖=

分析：該題與例1的共同點就是題中已知兩個向量的模及其夾角，即有了基底，所以基底法可行，解答如下：

解：取CE中點F，連接DF，易得■=■，又AE=■EB，故■=■，因此■=■，即■=■■，又■=■-■=■■-■，所以有■=■+■=■■+■■，又■=■（■+■），即得■·■=■=■.再來用坐標(biāo)法：

解：建系如圖，易得A（0，0），B（3，0），C（1，■），D為AC中點，故D（■，■），AE=■EB，則E（1，0），同樣N為BC中點，則N（2，■），接下來就缺M點坐標(biāo)了.

思路① 同上法，■=■■，則■=■+■=（1，■）（對學(xué)生平面幾何知識要求較高）；

思路② 用直線CE與BD方程求交點M的坐標(biāo)（學(xué)生最容易想到，體現(xiàn)了解幾思想）.

綜上■·■=（1，■）·（2，■）=■.

以上兩題所給條件，我們可能會首選基底法，而不大會先考慮建系用坐標(biāo)法，因為不是正交基底，但是一旦出現(xiàn)正交基底，我們肯定第一反應(yīng)就是選擇坐標(biāo)法，這也是情理之中的事情.比如：

例3：在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足■=■，則■·■的取值范圍是

分析：由于題中出現(xiàn)了矩形即∠A=90°，向量■和■的模都已知，所以很容易想到建系，解答如下：

解：建系如圖，易得A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），設(shè)■=■=x∈[0，1]，則M（2，x），N（2-2x，1），故■·■=4-3x∈[1，4].

例4：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則∣■+3■∣的最小值為

解：建系如圖，易知D（0，0），A（2，0），設(shè)CD=m>0，則C（0，m），B（1，m），再設(shè)P（0，p），p∈[0，m]，則易得■=（2，-p），■=（1，m-p），因此有∣■+3■∣=∣（5，3m-4p）∣=■，顯然當(dāng)p=■m∈[0，m]時，∣■+3■∣min=5.

由此可見，基底法和坐標(biāo)法在平面向量數(shù)量積的運算過程中有著非常重要的作用，如果我們能夠在平時的教學(xué)過程中，不斷地強化這兩種思想方法的運用，并讓學(xué)生仔細(xì)體會它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，熟練掌握，那么學(xué)生對類似問題的處理便有了有效的方法和足夠的解決問題的信心，這對于提高學(xué)生解題能力和學(xué)習(xí)成績將會有很大幫助.