向著數學課堂的縱深進發

乘法分配律是在學生學習了加法和乘法的交換律、結合律之后再一次深入認識運算律。與交換律、結合律相比較，乘法分配律的形式復雜，算理抽象，變式多樣，難學易錯。加之它屬于“計算”范疇，內容單一，形式單調，課堂難以生動。這些都使得乘法分配律的教學成為大家公認的難點。

不過，“一滴水也能折射出一個世界”。細細琢磨，《乘法分配律》的教學并非是“一杯白開水”。姜勝男老師的課堂設計著力體現教學中的“兒童立場”，讓學生學得自主，學得自由，學得自然，這是教學的“大境界”，也是教育教學的核心價值追求。這種由“教”向“學”的視角轉換，正是當下課程改革“再出發”的方向之一。無論何種教育，歸根結底只有通過兒童自身的選擇與建構，才有可能真正形成兒童發展。一節課，不管多么生動、熱鬧、精彩，如果不能真正地從學生的實際出發，并真實地呈現學生在學習過程中內心的想法、遭遇的困惑、思維的差異、發展的軌跡、個性的展示……那課堂的品質一定會大打折扣。客觀地看，姜勝男老師的課堂離最理想的境界尚有差距，但是，“方向對了，再遠的目標總能到達”，只要我們心中始終有學生，自覺持守以學定教、學教相長的理念，從一個個具體的教學環節、細節做起，學生數學課堂學習的面貌一定會有很大的改變。面對傳統的“教”為中心、“教”為核心的慣性思維，我們還需要用很長的時間、花很大的力氣來實現課堂教學形態的轉型。這是數學課堂向縱深進發的要義之一。

換一個角度來看，數學課應該凸顯數學“本味”，通過數學學習，兒童應該更加了解數學，理解數學，“懂”數學，愛數學。向學科本身回歸是數學課程標準修訂的明顯特點，數學基本思想、基本活動經驗、數學模型、幾何直觀、符號意識、數據分析觀念等核心概念的提出，算盤、扇形、常見數量關系等內容的復歸，“充分考慮數學自身的特點，體現數學的實質”、“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”等課程設計思路的明確，都充分說明了數學課程改革的學科傾向。從這一角度來看姜勝男老師的《乘法分配律》，可圈可點之處還是很多的，下面選取數學課程標準修訂稿中提出的幾個核心詞試做說明。

一、“數感”方面

學生要發現等式中隱含的規律，沒有數字敏感性，是很難做到的。但對乘法分配律的理解、應用更需要學生有很強的數感。為此，姜老師整個后半節課的教學幾乎都是在這個“點”上用力，除了教學設計中出現的等式特征的描述、“我能填”“我能連”中的相同乘數的強化、“我能選”中簡便計算的滲透，實際教學時，課件中還多次出現用紅色字凸顯相同乘數，用手勢動作區別乘、加運算等。可謂是高頻率、“重頭戲”。

二、“符號意識”方面

讓學生嘗試用自己的方式表示乘法分配律，并逐步抽象和符號化直至用字母式子（a+b）×c=a×c+b×c來表示乘法分配律，是常見常用的教學思路。在姜勝男老師的課堂上，這樣的思路被演繹得更加細膩和充分。一是增加了數字、符號合并使用（如：7×★+3×★）的“中間”形式，鋪設了抽象的臺階，減緩了思考坡度；二是在圖形、文字、字母等多種表達形式中，突出字母表達的簡潔性；三是追問用字母表示的“靈感來自于哪里”，勾連起先前學習交換律、結合律時的經驗，使得學習有了整體感。當然，數學課程標準在修訂時將原來的“符號感”調整為“符號意識”，并提出“建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式”的新解釋。這意味著，相對于傳統的教學要求而言，學生在數學學習中不僅能運用符號，還要盡可能讓他們“領悟”到字母、圖形、數字等符號本身就是特殊的數學語言，這些符號語言是人們慎重地、有意地而且經常是精心地設計的，意義豐富且自成體系。憑借數學語言的嚴密性、簡潔性、操作性、共同性，人們表達和研究數學思想，豐富和發展著數學。隨著數學在社會生產和日常生活中的運用越來越廣泛，數學的功用越來越強大，數學的符號語言也將越來越重要。從這一點來看，兒童學習數學，有必要將“符號”作為重要的學習內容和目標；兒童學習數學，也必須要走進數學獨特的符號世界。

三、“幾何直觀”方面

幾何直觀原本出現在高中數學課程標準中，現在成為義務教育數學課程標準的核心詞。課標指出：幾何直觀具有十分重要的價值，它“可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用”。小學數學課堂中，直觀手段的運用一直得到重視。比如，姜勝男老師的課上，為了讓學生更加清楚地區別“配套”算（55+45）×5和“分別”算55×5+45×5，課件給出直觀圖示；為了理解“分別”“分配”的含義，在算式上動態添加連接箭頭（如下圖）。這些不經意間出現的直觀圖示，能很好地滋潤學生抽象的思維。越抽象的東西越要直觀，越直觀的東西也越要有抽象，直觀與抽象是交融的。當然，“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知”（徐利治語），如果能將乘法分配律轉用幾何圖形來表達（如，長為a和b、寬都是c的兩個長方形面積之和），那就是更高水平、更為本真的幾何直觀。

四、“模型思想”方面

義務教育數學課程標準對模型思想的解釋是：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”客觀地看，沒有提“模型思想”時，乘法分配律的教學其實也很好地體現了“建模教學”：先研究一些具體的案例，從案例中找到規律，再驗證規律的正確性并用字母式子表達出來。字母式子（a+b）×c=a×c+b×c既是諸多具體的等式抽象的結果，又具有無限包容性和擴展性。這就是建模教學，只不過原來不講這是建模罷了。當然，從小學生學習的實際出發，這種字母關系的模型還是比較抽象的，如果能輔之以更加直觀的圖形模型來幫助理解就更好了。比如，我們可以將所有的乘法分配律算式，都看成是有一條邊相等的兩個長方形面積之和，那么，這樣的兩個長方形也就成為一種圖形模型。我們還可以將所有的乘法分配律算式，看成是同時出發相向而行的兩個運動物體之路程和，那相遇問題的線段圖也成為一種圖形模型。再比如，有位教師在課前談話中創設了老師與學生見面握手的情景，教師與學生一個一個地分別握，這是一般握手，老師與全班學生一起握，這叫“超級握手”。不同的握手方式也詮釋了乘法分配律的本質，我們不妨將之稱為“動作模型”。從模型的角度來組織教學，可以更加凸顯“抽象—推理—建模”的數學基本思想，體會數學的學科特性，也可為后續更加抽象、邏輯、理性的數學學習打好基礎。

五、“推理能力”方面

推理就是從事實出發，推測出結論，一般包含合情推理和演繹推理。前者通過歸納和類比等推測結果，后者從已有的定義、公理、定理等出發，按照規定的法則（包括邏輯和運算）證明結論。乘法分配律的教學普遍采用不完全歸納推理，即從特殊到一般的合情推理。那如何體現“合乎情理”？姜老師的課堂上讓學生舉出大量的正例，并追問有沒有反例，由此來“證實”發現的規律是正確的。不僅如此，此前，姜老師還讓學生聯系乘法的意義來解釋（5+10）×32與5×32+10×32相等的依據，結課時拓展到多個數的和與一個數相乘的聯想，這又具有了演繹推理的色彩。相比較而言，小學階段的數學學習非常重視且普遍使用不完全歸納法，但不完全歸納法的特點是得到的結果可能對也可能錯。過去，我們并不要求學生對此“深究”，但從發展學生思維深刻性和培養推理能力的角度來看，我們是否可以在舉出很多正例后追問：“這樣的例子能舉完嗎？有舉到反例的嗎？萬一有一個反例偏偏我們沒有找到怎么辦？”然后引導學生跳出例子來講“理”，即每個等式都可以看成是“幾個幾加幾個幾”“合起來共有幾個幾”的乘法原理，包括最后拓展到乘法對減法的分配律、多個數連加乘一個數時，都蘊含著同樣的“理”。既然“理”是一樣的，數學又是追求簡潔的，那么用（a+b）×c=a×c+b×c這道式子，看起來是三個數，其實又不限于只是三個數的情況，數學的豐富性和簡約性完美地統一。

除了上述五個核心詞外，運算能力、創新意識的培養也是乘法分配律教學中的重要元素，在此不再贅述。

總的說來，兒童立場、學科本味是數學課堂向縱深進發的兩個重要支桿。有“深度”是不是就要加“難度”？其實不然，學科本味是“根”，兒童立場是“魂”，當學習都基于兒童、符合兒童、兒童自主、自為時，一切都順理成章了。何況，有些要求只是在小學階段做些滲透、點撥、熏陶，絕非達標性的硬目標，對此，我們一定要有清醒的認識。

（作者單位：江蘇省海安縣實驗小學）