為理解而教

【名師檔案】 蔡宏圣 著名特級教師，江蘇教育原教學大綱版、現國標版兩套小學數學教材組成員，受邀擔任四川成都武侯區、江蘇常州天寧區等地名師培養工程導師，先后在《課程·教材·教法》《人民教育》《中國教育報》等教育類報刊上發表論文百篇以上，倡導的“和諧數學”教學主張影響廣泛，“深刻、新穎、靈動”的課堂教學風格鮮明，曾受邀分赴20個省市區講課。

恐怕沒有人懷疑：只有理解，才能學好數學。這是種常識，但又因為是常識——不證自明、眾所周知、無需特別關注，反而沒有得到應有的敬畏。

問題1：數學教育，為什么倡導“為理解而教”？

南京大學鄭毓信教授在談及“新時代小學數學教師的成長”時，以臺灣名師鄔瑞香的成長經歷作過剖析。刺激鄔老師深刻反省和自我超越的是和她學生的一次交流。鄔老師說：“1988年，遇到我的學生，正在國中教英文，她當面告訴我：‘老師，從前學的數學，都聽不懂，我們都是背的！’我的天啊！這個當年每次數學考試都是一百分的小孩，居然是這么辛苦學的！‘那國中呢？’‘一路背到底啊！’‘那高中呢？’‘就很慘，背不來！’學生的話，好比一記當頭棒喝，敲醒夢中人，含著淚水，懺悔去也。當年的名師，也不過是個假象吧！”實際上，在我們周圍也有這樣的學生，他們往往低年級數學成績很好，而到了中高年級數學成績就不行了，其中更為本質的原因也是因為此。作為教師，很難想象學生是用死記硬背的方式來學數學的，而事實是確有一部分學生是如此學習數學的。即便是現在，也有不少教師認為數學學習必須要大量地重復操練，把能想到的題都要讓學生練一遍乃至幾遍，支持其這樣做的潛意識便是：學數學，記得題目類型和解法比理解和思考更為有效。因此，無論是從學的角度，還是從教的角度，“理解才能學好數學”雖然是種常識，但遠沒有成為普遍現實。

課程改革走到今天，越來越清楚地表明，學生發展是教育工作的根本。因此，把“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”視為2011年版課標數學課程的核心理念實不為過。學生獲得良好的數學教育、得到適切發展的標志，是整體實現“知識技能、數學思考、問題解決、情感態度”四個方面的課程目標。也就是說，目標的四個方面是個密切聯系、相互交融的有機整體。其中，數學思考、問題解決、情感態度的發展都離不開知識技能的學習。知識技能的學習是數學教育的基礎，它的學習過程中包含著對數學思考、問題解決、情感態度這三個方面的體會和感悟。如果學生用死記硬背的方式來學知識技能，怎么可能感受數學核心概念的意義，發展形象思維和抽象思維？怎么可能靈活運用所學解決實際問題，發展創新意識？怎么可能享受思考的快樂，培養對數學的美好向往？

可以這樣說：沒有理解，數學教育也就沒有其他的意義。

問題2：怎樣判斷學生是否理解所學知識？

理解，雖然是個日常用語，但嚴格意義上，我們更應該把它還原為一個心理學名詞。根據認知結構的建構觀點，“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了”。由此引申開去，在學生的內心世界，其發生的變化便是“建立了恰當的新舊知識之間的聯系，使概念的心理表象建構得比較準確，它與其他概念表象的聯系比較合理，比較豐富和緊密”。

把握以上關于“理解”的心理學意義，可以為我們的教學努力明確大的方向。不過，一個教師還要捕捉學生學習的外在表現，學會判斷學生是否理解了所學。一般，如果學生表現出了下面這些行為，大致可以認為學生已經理解了所學知識：

能講得清楚所學知識和生活經驗間的聯系與區別（例，生活中上下方向才稱之為“高”，而幾何圖形中的“高”和方向無關）；

能根據定義舉出恰當的例子；

能用兒童口語化的語言來表達對所學概念的感受（例，低年級學生對“減法”模型意義的體會：走掉幾個人用減法算，吃掉了幾個蘋果也用減法算，借出了幾本書還是用減法算，減法的本事真大啊）；

能說清楚新知識與相關舊知識間的聯系與區別；

能知道所學知識的本質是什么（例，半徑就是畫圓時圓規兩腳間張開的距離）；

能從不同的角度對所學知識作出解釋（例，百分數也就是只表示倍比關系，而分母又固定為100的分數；百分數也就是后項固定為100的比）；

能在變式的情境中運用概念；

能在復習的情境里，畫出合適的概念間的關系圖，能講清楚知識的來龍去脈；

能在貌似無關的兩個或幾個概念間找到內在聯系。

需要指出的是，理解是一個動態的過程，不是一勞永逸的事情，上述各種行為可能是在反復多次的建構反思中逐漸表現出來的。

要注意的是，基本知識的掌握要達到扎實，基本技能的掌握要達到熟練，都必須訓練，我們倡導“為理解而教”，并不否定訓練之于數學學習的意義，只不過要以理解為基礎，而不要大量的機械操練和沒有遞進的重復訓練。

（作者單位：江蘇省啟東市中小學教師研修中心）

延伸閱讀

此次課標的修訂，專設了10個核心概念，其中“幾何直觀”的意義，要超越“幾何”的層面來領悟“直觀”對于數學教育的意義。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中是這樣論述的：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”學習數學，解題不是最重要的，因而把握幾何直觀的價值，不僅僅在于“有助于探索解決問題的思路”，更為重要的是“幫助學生直觀地理解數學”。有些時候，教學如果不深入到直觀層面，學生學習數學便在死記硬背。例如，1.50末尾的零不能去掉，因為1.50比1.5的精確度更高。根據四舍五入法，1.5的取值范圍是1.450～1.549，1.50的取值范圍是1.495～1.504，用幾何直觀圖表示出來就是——

憑借圖學生對“精確度更高”的體會才完全不同。課堂教學，數學教師不是要創造新的數學概念，而是創造學生對數學的理解，即如何把抽象的數學意義轉換成兒童易于理解和運用的具體感受、直觀形式。為了理解，定義不是最重要的，引導學生形成各種直觀的概念意象，才是更為重要的事情。這方面我們已經有了很多經典的案例，比如用直條的移多補少來體會平均數的意義、用求組合矩形（同寬的矩形組成一個大矩形）的面積來感悟乘法分配律、用能不能擺成多個矩形來體會素數與合數的意義，以及用各種幾何直觀的形式來理解各種計算的算理等等，但對于小學生的數學學習來說，我們需要更多的合適的幾何直觀彌漫在數學學習的更多細節處。多用幾何直觀的方式來說明數學的內在道理，深入淺出，可以引導學生達成數學的深度理解。只有直觀上懂，才是真正懂！

為了更系統地把握數學理解的意義，可以研讀下列資料：

1.《PME：數學教育心理》第三章“怎樣理解數學的理解”（李士锜，華東師范大學出版社）

2.《從聯系的角度看數學理解》（張萍、寧連華，《教學與管理》2006年第11期）

3.《關于數學理解的教學思考》（牛楠森、孔凡哲，《廣西教育》2005年09A期）

4.《試論數學理解的內涵及教學要求》（潘小明，《教育實踐與研究》2008年第1期）

5.《幾何直觀：小學數學教學的視角》（蔡宏圣，《課程·教材·教法》2013年第5期）