經(jīng)歷“數(shù)學化”過程，獲得“基本活動經(jīng)驗”

【教學內(nèi)容】人教版四年級下冊P85。

【教學目標】

1. 通過測量、剪拼、折紙等活動讓學生經(jīng)歷探索和驗證“三角形內(nèi)角和等于180°”的過程。

2. 在應用三角形內(nèi)角和知識解決問題的過程中促進學生的推理能力與數(shù)學思維的發(fā)展。

3. 在動手實驗、探索、交流、對比中經(jīng)歷“數(shù)學化”的過程并體驗成功的喜悅，進而培養(yǎng)學生科學探索精神。

【教學過程】

一、課前談話（略）

二、知識導入，關(guān)注數(shù)學文化

師：今天這節(jié)課的內(nèi)容就從這位數(shù)學家帕斯卡開始，他從小癡迷于數(shù)學，喜歡自己琢磨。在帕斯卡12歲的時候就發(fā)現(xiàn)了改變他一生的數(shù)學問題。

師：此時此刻，你最想知道什么？

師：改變帕斯卡一生的數(shù)學問題就是三角形的內(nèi)角和。

師板書：三角形的內(nèi)角和。

【設(shè)計意圖】用數(shù)學家的勵志故事導入新課，從情緒上感染學生，激發(fā)興趣，喚起求知欲，同時也為數(shù)學文化的引出做了必要的鋪墊。

三、自主探究，學習新知

1.認識“內(nèi)角”與“內(nèi)角和”。

師：既然是三角形的內(nèi)角和（貼銳角三角形），一個三角形有幾個內(nèi)角？

師：3個內(nèi)角在哪里？你能上來指給大家看嗎？

師：為了便于交流，把這三個內(nèi)角標出來（邊說邊標），∠1、∠2、∠3就是這個三角形的三個內(nèi)角。

師：那像直角三角形、鈍角三角形（貼在黑板上）的內(nèi)角你能標出來嗎？（學生標注）。

師：內(nèi)角找到了，那內(nèi)角和的意思是？

生：就是把三角形的三個內(nèi)角加起來呀！

師：那三角形的內(nèi)角和是多少呢？

生：180°。

師：你們怎么知道是180°呢？

【設(shè)計說明】“內(nèi)角”是相對于“外角”而言的。三角形相鄰兩邊所構(gòu)成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。三角形的角的一邊的反向延長線與它相鄰邊組成的角叫做三角形的外角。小學只要求學生顧名思義，能指認三角形的內(nèi)角即可。

2.探究，經(jīng)歷“數(shù)學化”過程。

（1）交待要求。

師：三角形的內(nèi)角和是不是180°呢？你有什么好辦法說明給大家看嗎？

師：咱們這樣，先任意畫一個三角形，把三角形的內(nèi)角像這樣標出來，看看我們今天帶來了這么多的學習工具（剪刀、直尺、量角器），想一想，我要用什么辦法進行研究，想好了就行動。

（2）學生活動，教師巡視。

（3）匯報交流。

師：好了，同學們，到了我們一起分享實驗成果的時候了，誰愿意先來匯報你的實驗成果？

【設(shè)計說明】筆者沒有直接給學生在課前準備好三角形，這是因為學生畫的三角形更易出現(xiàn)測量誤差，而測量有誤差才能凸顯剪拼的優(yōu)勢。無論誰畫的三角形都能通過剪拼、折拼成平角，從而讓學生確信無疑：任何三角形的內(nèi)角和都是定值。

①量。

生：我是用量角器量出來的。

教師板書：量。

師：三個角分別是多少呢？

師：世界真是奇妙啊，畫的三角形不一樣，量出來的卻都是180°。

師：那咱們班有沒有量出來不是180°的呢？

師：看來，三角形的內(nèi)角和不確定啊。有時量出來剛好是180°，有時量出來不是180°，這是怎么回事呢？

師：哇，這位同學真的是投入研究了，他感受到有誤差。同學們回想一下，咱們量的時候，會不會碰到不是整度數(shù)的情況。有時比整度數(shù)多一點，算了，多一點的度數(shù)就……

生■：省略。

師：有時比整度數(shù)少點，干脆……

生：往前入一位。

師：是啊，同學們都有這樣的體會。正如這位同學所說，咱們在量的時候或多或少會有些誤差。

教師板書：誤差。

師：正是因為測量有誤差，僅靠量的辦法就得出結(jié)論，行嗎？

②剪拼。

師：那咱們班有沒有不同的方法？

師：呵，還真有啊，我很期待，趕快上來介紹介紹。

生■在展示臺上操作，先還原成三角形。

生■：我是把三角形的三個角剪下來，然后拼在一起，就是180°。

師：哦，剪拼成180°，三角形的三個角可以拼成什么角？（平角）

師：這倒是個新發(fā)現(xiàn)。是啊，其實咱們在猜到內(nèi)角和是180°的時候，就應該想到……（平角）

師：這么好的方法，我也想試一試。

教師示范過程如下：

圖2中∠2、∠3為剪下的部分，圖3、圖4為拼的過程。

師：你們“哇”什么呢？

生■：這么好的辦法，不用量，而且又方便。

師：你很會欣賞同學，善于向他人學習。

師：那對于這位同學的研究，你有什么問題要問他嗎？

生■：我就想知道拼成的那個角你說是平角，你有辦法驗證嗎？

師：提得好，看起來像平角可不行，你有什么辦法驗證嗎？

生■拿一把尺子驗證。

師：是平角嗎？這個角的兩邊正好在同一條直線上，果然是平角。

③折拼。

師：除了剪拼法，其他同學還有不同的方法嗎？

生■：我還有，我就是這樣折在一起。

師：聽起來很有意思，能用我黑板上的大三角形演示給大家看嗎？

師：這位同學在剛才那位剪拼法的啟發(fā)下，又想到了折拼法，太棒了，這種方法你們能想到嗎？

師：這么有創(chuàng)造性的想法，你們想不想折折看？

師：那我們先一起來分享他是怎么折的。（把三角形還原，呈現(xiàn)三條折痕）

師：這位同學，折了3次，有3條折痕，上面這條，經(jīng)過了這兩點。（如圖5所示，紅筆標上兩個紅點）

師：這個點在這條邊的什么位置？

生：中點。

師：好眼力。右邊這個點呢？

生：也是中點。

教師邊演示邊說：把這兩個中點連接起來，就是這條折痕。（如圖6所示）

師：那另外兩條折痕呢？

教師畫“┒”提示。（如圖7所示）

生：哦，中點到對邊的垂直線段。

師：沿著這三條線段進行折拼，就能保證頂點對頂點，邊對邊。（圖7）

師：表面上看來簡單的三條折痕里面卻隱藏著這么豐富的內(nèi)容。

（4）人人動手實驗。

師：剪拼法、折拼法能證實這幾位同學畫的三角形內(nèi)角和是180°。那么這兩種方法能證明你畫的三角形的內(nèi)角和是180°嗎？能還得……

生：動手試試看。

師：說得好，那就請你們挑其中的一種方法來試試看，實驗好了，可以和組內(nèi)的同學說一說。

學生動手實驗并交流。

師：你們的坐姿告訴我你們交流好了。

師：同學們，那直角三角形除了像剛才那樣折3次，還可以怎樣折拼？

生：只要折2次就好了。（學生示范直角三角形折拼法）

師：真是會學習的表現(xiàn)，在這位折拼法的啟發(fā)下，又想到了新的折拼法，看來同學們是越學越智慧。

師：同學們，現(xiàn)在通過剪拼、折拼法得到什么結(jié)論（邊說邊板書：剪拼，折拼）。

生：得到三角形內(nèi)角和真的是180°。

【設(shè)計說明】通過“學生演示→教師及時示范（引導學生理解折拼法中三條折痕的由來）→人人動手實驗→再次交流實驗新收獲”，讓學生在活動中提升數(shù)學活動經(jīng)驗。因為學生個體之間的差異較大，因而學生之間的數(shù)學活動經(jīng)驗也有很大的差異，而讓學生進行適當?shù)姆磸腕w驗，將感性、粗淺的數(shù)學活動經(jīng)驗通過數(shù)學化、邏輯化加以提升，形成對今后類似情境與活動的指導。

（5）“帕斯卡方法”。

生：其實我還有一種方法，先畫一個長方形，長方形4個角都是直角，長方形的內(nèi)角和是360°，那么三角形的內(nèi)角和就是180°。

師：這個方法怎樣？

生：可以，但是只能證明直角三角形的內(nèi)角和啊，其他的三角形呢？

師：老師很欣賞這位同學，他和我們的數(shù)學大家帕斯卡前半部分想到的方法是一樣的，我們一起來看。（課件展示）

師：像這位同學一樣，他任意畫了一個長方形，長方形的內(nèi)角和是360°，把一個長方形分成兩個完全一樣的直角三角形，其中一個直角三角形的內(nèi)角和就是180°。那么他也像這位同學一樣，在思考，任意一個三角形呢？于是，他任意畫了一個三角形，并作高，誰看懂了他的意思？

生：任意一個三角形都可以被高分成兩個直角三角形。

師：這位同學的話抓到關(guān)鍵。任意一個三角形都可以被高分成兩個直角三角形。

生：兩個直角三角形的內(nèi)角和加起來等于360°，再減去多加的平角，剩下的∠1+∠2+∠3+∠4=180°，那么任意一個三角形的內(nèi)角和就是180°。

師：數(shù)學的學習常常需要比較，那么我們今天量、折拼、剪拼的方法和帕斯卡的方法有什么不一樣呢？

生：我們量的辦法有誤差，剪拼、折拼的方法需要用剪刀或者直尺。

師：帕斯卡的方法不需要量，不需要靠實驗，只用我們數(shù)學中的推理、證明的方法。（板書：證明）

【設(shè)計說明】探索三角形內(nèi)角和的過程，也是培養(yǎng)學生動手實踐能力和科學探索精神的過程。不但讓學生掌握基本知識和基本技能，更重要的是讓學生獲得基本活動經(jīng)驗和數(shù)學思想方法。通過與“帕斯卡證明過程”的比較，讓學生經(jīng)歷“已知→驗證→實驗→證明”的過程，而這也是數(shù)學化的過程。

四、小結(jié)

師：一起回顧這節(jié)課堂之旅，一開始同學們覺得三角形的內(nèi)角和是180°，然后通過量的方法，發(fā)現(xiàn)有誤差，之后又用了實驗（剪拼、折拼）的方法來驗證三角形的內(nèi)角和真的是180°，帕斯卡的方法也能證明這一點。

師：那同學們能用今天所學的知識和方法來解決一些問題嗎？

五、練習

1. 基本練習。

已知三角形的兩個角，求另一個角的度數(shù)。

2. 綜合練習。

（1）求特殊三角形中未知角的度數(shù)。

（2）已知三角形的一個外角和其中一個與它不相鄰的內(nèi)角，求未知角的度數(shù)。

3. 拓展練習。

（1）證明四邊形的內(nèi)角和。

（2）證明五邊形的內(nèi)角和。

4. 延伸（課外）練習。

證明六邊形、七邊形……n邊形的內(nèi)角和。

【設(shè)計說明】分層練習，滿足不同層次學生的認知需求。從而以“容量”支持“質(zhì)量”，憑“坡度”促進“效度”，體現(xiàn)務實有效的練習設(shè)計的態(tài)度，同時培養(yǎng)學生思維的靈活性，促進思維的發(fā)展。

（作者單位：上海市閔行區(qū)明強小學 責任編輯：王彬）