構造圓錐曲線模型巧解不等式

數學思想是數學的靈魂.在平時學習的過程中，數學思維的發散與收斂，知識的外延和內涵訓練都是培養學生思維的好方法.根據數學知識的框架特征，建立知識之間的聯系，往往可以使得解題方法新穎別致、獨到創新.現以一些不等式的解法為例加以說明.

一、構造橢圓模型，巧解一類含絕對值的不等式

【例1】 解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.

分析：該不等式是含兩個絕對值符號的不等式，這類不等式可使用零點劃分區間法、構造函數法、幾何意義法等.那么根據絕對值的定義可知，該不等式的含義是數軸上的點x到兩定點（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.這也恰好符合橢圓的定義，用橢圓的知識來解釋該不等式就是代表橢圓及其橢圓外部的x的取值范圍，利用橢圓的有界性便可輕松求解.

解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含義是數軸上的點x到兩定點（-2，0）和（2，0）的距離之和大于等于5.

根據橢圓的定義可知c=2，a=52，

∴a2=254，b=94，

因此橢圓的方程為x2254+y294=1.

根據橢圓的有界性可得x≤-52或x≥52，

∴不等式的解集為{x|x≤-52或x≥52}.

二、構造雙曲線模型，巧解一類含絕對值的不等式

【例2】 解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.

分析：根據絕對值的定義可知，該不等式的含義是數軸上的點x到兩定點（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.這也恰好符合雙曲線的定義，用雙曲線的知識來解釋該不等式就是代表雙曲線右支的x的取值范圍，利用雙曲線的有界性便可求解.

解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含義是數軸上的點x到兩定點（-5，0）和（5，0）的距離之差小于或等于8.

根據雙曲線的定義可知c=5，a=4，∴b=3.

因此雙曲線方程為x216-y29=1（x>0）.

由雙曲線的有界性可得x≥4，

∴不等式的解集為{x|x≥4}.

三、構造拋物線模型，巧解一類無理不等式

【例3】 已知a∈R，求證：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析：該不等式含有兩個根式，并且根號內表達式的次數高達4次，因此求解起來特別的困難.根據數學化繁為簡的整體思想，將其配方降冪，其左端可變形為（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的幾何意義是拋物線y=x2上點P（a，a2）到點A（3，2）與到點B（0，1）距離之差的最大值是10.

解：根據不等式的結構，可以將其左端變形為

（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，

此不等式的幾何意義是拋物線上點P（a，a2）到點A（3，2）與到點B（0，1）距離之差的最大值是10.

∵A（3，2），B（0，1），

∴|AB|=10.

由圖可知||PA|-|PB||≤|AB|=10，因此原不等式得以證明.

在學習數學的過程中，若能根據數學表達式的結構特征，挖掘其蘊含的內在意義，不但能優化解題過程，而且還可以大大提高思維能力.

（責任編輯 金 鈴）