對一道課本習題的研究

通過多年的教學，我發現教材中有許多極有價值的題目.對于這類題目，我們不能就題論題，或者僅僅滿足于能正確解答題目，而應引導學生認真挖掘題目的內涵，不斷地完善學生的知識結構和認知結構，激發學生對教材研究的興趣，培養學生的探究能力、創新能力.

高中數學新教材第二冊（上）P96練習4：△ABC的一邊的兩頂點是B（0，6）、C（0，-6），另兩邊的斜率的積是-49，求頂點A的軌跡.

這道題的答案是：軌跡方程為x281+y236=1（x≠0），軌跡是一個橢圓（除短軸端點外）.

我把這道題當做作業布置給學生，學生只是滿足于把題目解答出來，而且絕大多數學生都能正確解答本題.但是，在學了橢圓和雙曲線之后的一節習題課中，我要求學生研究這道題.下面是這一道課本習題的教學實錄.

師：今天這節課，老師想請同學們研究一道課本題（P96練習4）.

開始，許多學生都認真研究他們的解答，看看是否做錯，很快他們發現他們沒有做錯，他們說：“老師，我們沒有做錯，你要我們研究什么？”

師：是的，這道題你們是沒有做錯，但老師就是要你們研究這道題.

經過熱烈的討論，有學生說：“老師，我想看看它的逆命題是否正確？”

師：很好，大家不妨以這位同學的想法為例做一些研究.

很快有學生寫出了它的逆命題：

已知橢圓方程為x281+y236=1（x≠0），短軸的兩個端點為B、C，若點A是橢圓上任意一點（異于B、C），求點A與B、點A與C的連線的斜率的積.

經過計算得到答案正好是-49.

這時一些學生臉上露出成功的喜悅，并感嘆：“原來這個命題的逆命題也成立！”

師：很好，同學們經過研究，發現了這個命題及它的逆命題都是正確的，但這僅僅是研究的開始，請同學們繼續研究.

于是，學生再次進入思維、探索的高潮，所有學生都在進行積極的探索.有的學生想研究它的否命題、逆否命題，但很快發現研究這四種命題的關系沒有什么價值；有的學生研究橢圓的方程x281+y236=1（x≠0）中的數值與-49的關系；有的學生寫出了P96練習4的一般形式：△ABC一邊的兩頂點B（0，m）、C（0，-m），另兩邊的斜率之積是常數-p，求頂點A的軌跡；還有的學生得出了更一般的命題：與兩定點的連線的斜率之積是定值的點的軌跡是橢圓……

教師在教室巡視，不時給學生一些提示和點撥，經過學生的研究和討論，得到了如下命題：

平面內的一個動點M（x，y）到兩定點A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積等于常數e2-1（-1

此時，同學們十分高興，個個臉上都露出了成功的喜悅.

師：你們真了不起，通過研究你們發現了這樣漂亮的命題，真是太棒了.但是，誰能使這個命題更加完美呢？

學生再一次進入思維、探索的高潮.有的學生想到了教材P108習題1：△ABC一邊的兩個端點是B（0，6）、C（0，-6），另兩邊的斜率的積是49，求頂點A的軌跡.[答案：雙曲線x281+y236=1（x≠0）]；有些學生則直接對命題中的常數的取值范圍進行研究，他們覺得這個常數的改變會引起曲線的形狀的改變……（下課鈴響了.）

師：同學們，這節課你們通過對一道課本題的研究，發現了一個重要的命題：平面內的一個動點M（x，y）到兩定點A1（-a，0），A2（a，0）的斜率之積等于常數e2-1（-1

1.這里面蘊含了什么哲學原理？

2.請大家給出一個統一的圓錐曲線的定義.

綜上可知，一道優秀的習題、一種較好的解法及得出的優美結論，可激發學生的興趣，發展學生的智力，提高學生的能力.作為教師，我們應該培養學生探索研究的能力，讓學生逐步形成良好的思維習慣.

（責任編輯 黃春香）