任意性和存在性問題的教學思考

任意性、存在性問題，是高考常考題型之一，我們教師在高考復習時多以“題海”戰術來突破，不僅效率低，同時也加重了學生的負擔，使相當一部分學生“喪失”了學習的興趣.如何有效地指導學生突破是擺在每一位高三數學教師面前的任務.精選好題目，再適當地將原來的題目變形，這樣既可以提高學生學習的興趣，又能激發學生解答問題時思維的積極性、主動性，培養學生深入探究的思維品質，幫助學生更好地掌握所學的知識，達到舉一反三的目的.下面就由一道例題展開，闡述自己的教學看法.

【例題】 已知函數f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設函數g（x）=x2-2ax+a，若對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

解析：（1）f（x）=mxx2+n（m，n∈R），f′（x）=m（x2+n）-mx·2x（x2+n）2=mn-mx2（x2+n）2.

因為f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2，所以f′（1）=0，

f（1）=2.

解得m=4，

n=1，或m=0，

n=-1，經檢驗m=0，

n=-1不合題意，舍去；m=4，

n=1符合題意，所以f（x）=4xx2+1.

（2）f′（x）=4-4x2（x2+1）2=-4（x+1）（x-1）（x2+1）2，令f′（x）=0得x=-1或x=1.

當x<-1時，f′（x）<0，函數f（x）在（-∞，-1）單調遞減；當-10，函數f（x）在（-1，1）單調遞增；當x>1時，f′（x）<0，函數f（x）在（1，+∞）單調遞減.又因為x<0時，f（x）<0；x>0時，f（x）>0，所以當x=-1時，f（x）取得最小值-2，當x=1時，f（x）取得最大值為2.

因為對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

因為g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2，

當a≤-1時，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a<-2，得a<-1；

當a≥1時，g（x）的最小值為g（1）=1-a，由1-a<-2，得a>3；

當-1

綜上，a∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

利用函數與導數的相關知識，把任意性、存在性問題轉化為函數值域之間的關系問題.例題的第（2）問，是對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

思考：把第（2）問條件改為“對于任意x2∈[-1，1]，總存在x1∈R”，又該如何解決？

變式1：已知函數f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設函數g（x）=x2-2ax+a，若對于任意x2∈[-1，1]，總存在x1∈R，使得g（x2）

解析：對于任意x1∈R，總存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）

因為g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2，

當a≤0時，g（x）的最大值為g（1）=1-a，由1-a<2，得-1

當a>0時，g（x）的最大值為g（-1）=1+3a，由1+3a<2，得0

綜上，a∈（-1，13）.

思考：把第（2）問條件再改為“對于任意x1∈R，任意x2∈[-1，1]”，又如何解決？

變式2：已知函數f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設函數g（x）=x2-2ax+a，是否存在實數a，對于任意x1∈R，x2∈[-1，1]，g（x2）

解析：對于任意x1∈R，x2∈[-1，1]，都有g（x2）

當a≤0時，g（x）的最大值為g（1）=1-a，1-a<-2，無解；

當a>0時，g（x）的最大值為g（-1）=1+3a，1+3a<-2，無解.

綜上，不存在實數滿足條件.

思考：把第（2）問條件改為“存在x1∈R，x2∈[-1，1]”，又如何解決？

變式3：已知函數f（x）=mxx2+n（m，n∈R）在x=1處取得極值2.

（1）求f（x）的解析式；

（2）設函數g（x）=x2-2ax+a，若存在x1∈R，x2∈[-1，1]，使得g（x2）

評析：若存在x1∈R，x2∈[-1，1]，使得g（x）

當a≤-1時，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a<2，得a≤-1；

當a≥1時，g（x）的最小值為g（1）=1-a，由1-a<2，得a≥1；

當-1

綜上，a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）.

本題通過互換任意性及存在性、全部變換為任意性、全部變換為存在性等變形，循序漸進，環環相扣，使學生處于一種愉悅的探索歷程中，培養了學生思維的靈活性、變通性.通過這樣的復習，還能使學生對如何解決任意性、存在性問題有了更深刻的理解.

一道題在手，若能打開思維的窗扉，不僅可以培養學生的發散性思維能力及知識遷移能力，還可以開闊學生思路，培養學生的邏輯推理能力和想象力，提高學生的數學學習興趣，提高數學課堂的有效性.精選、會用、善變，通過對一道數學題目的“變化”，讓學生體會出“數學美”.教師借助一題多變進行教學，是提高教學質量、發展學生思維能力和增強學生解題能力的重要途徑.

（責任編輯 金 鈴）