開展數學變式教學 培養學生思維能力

在數學學習中，常常會發現當問題的形式或題目稍加變化時，許多學生就束手無策.當代數學教育家G.波利亞說過：“我們如果不用‘題目的變更’，幾乎是不能有什么進展的.”這就是說，我們的數學課堂應關注變式問題，加強變式題的研究.在教學中不能就題論題，要以題論理，舉一反三，通過變式教學提高課堂教學的有效性.

所謂變式教學，就是在教學過程中，充分利用教材的例題和習題，有計劃、有目的、合理地變換命題的條件或結論，靈活轉換問題的內容和形式，但同時應保留好問題中的本質因素，從而使學生能更好地掌握其中的本質屬性.采用的方法主要是改變問題的表達方式（如互換題設與結論，改變圖形的位置、形狀、大小等），規律及語言符號的互譯，最終在變化過程中使學生掌握問題的本質.

一、開展數學概念變式教學，激發學生學習興趣，培養學生思維能力

數學概念是數學基礎知識的重要組成部分，它比較抽象，學生容易感到乏味.所以在數學概念的教學過程中，可以利用多樣化的變式，激發學生的學習興趣，充分調動學生參與概念形成過程的積極性，主動去發現、去創造，進一步幫助學生弄清楚每個數學概念的內涵和外延，這樣能更好地培養學生的觀察、分析以及概括能力.

【例1】 學習“絕對值”時，首先讓學生理解絕對值的幾何意義、代數意義及它的數學符號表達式，然后讓學生通過下列的變式題掌握絕對值的概念.

變式題：判斷下列語句是否正確.

（1）沒有絕對值等于-3的數.（2）絕對值等于本身的數是0.（3）任何有理數的絕對值是正數.（4）0是絕對值最小的數.（5）絕對值等于3的數是3.（6）若|a|=|b|，則a=b.

通過以上的變式教學，可以使學生對概念的理解逐漸加深，對概念的本質理解透徹，可以避免“題海戰術”，從而在有限的時間內獲得最大的效益，大大提高課堂效率.

二、利用變式使學生認知定理和公式中概念間的多種聯系，培養學生多向變通的思維能力

學生數學思維的發展，還有賴于掌握、應用定理和公式去進行推理、論證和演算.定理和公式的實質是人們對于概念之間存在的本質聯系的概括，所以理解定理和公式中概念的聯系是學習定理和公式的關鍵.學生不能熟練、靈活運用定理和公式的根源是對定理和公式的機械理解和記憶，是缺乏多向變通思維能力的結果.所以，在定理和公式的教學中，可利用變式，指導學生深刻理解定理和公式中概念的多種聯系，從而做到靈活運用.

【例2】 在學習“平行線分線段成比例定理”時，學生對于“三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等”理解不透，經常在運用中出錯.實際上學生出錯的原因就在于沒有理解透這句話中的關鍵詞：截兩條直線、所得的對應線段.因此，可以設計如下的變式題讓學生練習.

1.已知，如圖1，l3∥l4∥l5，分別與直線l1、l2交于點A、B、C、D、E、F，則有：AB（ ）=（ ）EF，（ ）AC=DE（ ）.

2.如圖2，判斷下列式子是否正確.

（1）ADBD=CEAE （2）EDCB=ADDB （3）ABAC=CEDB

3.如圖3，若DC∥EF∥AB，則有（ ）.

A.ODOF=OCOE B.OFOE=OBOA

C.OAOC=ODOBD.CDEF=ODOE

通過上述的三個小練習，使學生對“所得的對應線段”有了較為清晰的理解，學生的辨析能力得到提高，思維更加縝密.通過對定理的變式訓練，使得學生對定理和公式能正確把握，從而有效地防止了機械地背誦、套用公式和定理，提高了學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力.

三、在解題教學中適當應用變式，培養學生思維的發散性

解題教學中，變式常常表現為兩類：一類為解題變式，即一題多解，也就是G.波利亞的《怎樣解題》中提到的“你能不能用不同的方式重新敘述它……”；另一類為題型變式，即多題同解，也就是G.波利亞的《怎樣解題》中提到的：“這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題.你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？”教學中可以恰當地變換題目的條件或結論，變換題目的表現形式，但要注意題目本身的實質不變.用這種方式進行教學，可以避免學生受思維定式的束縛，從而實現思維方向的靈活轉變，使思維呈現發散的狀態.

【例3】 一家商店銷售某種進價為每件20元的服裝，銷售過程中發現，每月銷售y（件）與銷售單價x（元）之間的關系滿足一次函數y=-10x+500.如果想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

解：依題意得：（x-20）y=2000，

即（x-20）（-10x+500）=2000，

解得x1=30，x2=40.

變式一：設該商店銷售這種服裝每月獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

變式二：若這種服裝的銷售單價不得高于32元，每月想要獲得的利潤不低于2000元，那么每月的成本最少需要多少元？

以上的變式是在原題的基礎上的自然引申，促進學生把知識學活，從而提高了學習效率.

【例4】 如圖4，已知：A、C、B為同一直線上三點，分別以AC、BC為邊在線段同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F.若∠ACD=60°，則∠AFB= .

變式一：如圖5，若∠ACD=90°，則∠AFB= .

變式二：如圖6，若∠ACD=120°，則∠AFB= .

變式三：如圖7，若∠ACD=α，則∠AFB= .（用含α的式子表示）

這一系列問題的本質，其實就是證明△ACE≌△DCB，然后利用全等三角形對應角相等及三角形內角和知識解決問題.

【例5】 人教版數學課本九年級（上）習題24.2第14題：如圖8，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.

這道題涉及圓的切線的知識，如果學生只停留在就題論題上，這道題就失去了真正的內涵.所以教師要對此題進行變式，拓寬學生思維，加深學生對知識的理解.

變式一：如圖8，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線交AD于D，AC平分∠DAB.求證：AD⊥CD.

變式二：如圖8，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點且AD⊥CD于D，AC平分∠DAB.求證：CD為⊙O的切線.

變式三：若A、B、C三點均在⊙O上，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，AC平分∠DAB.求證：AB為⊙O的直徑.

綜上可知，由“AB為⊙O的直徑”、“AD⊥CD”、“CD為⊙O的切線”、“AC平分∠DAB”四者中的任意三個條件可以推出第四個結論.

變式四：（2010·山東德州）如圖9，在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，AE平分∠BAD交BC于點E，點O是AB上一點，⊙O過A、E兩點，交AD于點G，交AB于點F.

（1）求證：BC與⊙O相切；（2）當∠BAC=120°時，求∠EFG的度數.

有了上面知識作基礎，學生對于這道中考題的證明就得心應手了.

總之，在教學實踐過程中，結合學生的心理發展程度和年齡特征，根據教學內容和目標，利用變式手法加強訓練，能夠很好地鞏固學生的基礎知識、激發學生的學習興趣、打破學生的思維定式，提高學生的分析和解決問題能力.變式訓練對于培養學生敢于思考，敢于聯想、敢于質疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神起著重要作用.當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中.問題變式要抓住變式教學的精髓，問題設計要符合學生的最近發展區，變式教學要注意滲透數學思想方法，讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質；讓學生系統地、深層次地了解一類題的內在聯系，整合那些零散、斷裂、孤立的知識點，使學生每做一道題都有一種豁然開朗的感覺，從而站得高、看得遠，思維得到不斷升華.

（責任編輯 黃春香）