也探一類等差數(shù)列問題的解法

在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，有些教師熱衷于“一題多解”.筆者以為，一題多解是一把雙刃劍，運用得好則可充分展示數(shù)學(xué)的魅力且極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面，它卻又有可能使課堂教學(xué)低效甚至無效.因此，如何指導(dǎo)學(xué)生探究通法常法，應(yīng)是校本研修的一個重要課題.

先看下面的兩個問題.

問題1：已知兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn，且AnBn=7n+45n+3，則a5b5= .

問題2：已知兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為An、Bn，且AnBn=7n+45n+3，則a5b6= .

這是《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（2010·7（上旬））上的兩個問題，也是高三復(fù)習(xí)時常見的一類等差數(shù)列的問題.先看下面的三種解法.

解法1：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的首項和公差分別為a1、d1和b1、d2，則它們的前n項和分別為

An=na1+n2（n-1）d1=n2[d1n+（2a1-d1）]，

Bn=nb1+n2（n-1）d2=n2[d2n+（2b1-d2）]，

∴AnBn=d1n+（2a1-d1）d2n+（2b1-d2）=7n+45n+3，觀察此式的分子和分母，不妨設(shè)d1=7k，則d2=k，2a1-d1=45k，2b1-d2=3k（此處k為比例系數(shù)，可以是某個常數(shù)或整式），可得

a1=d1+45k2=7k+45k2=26k，

b1=d2+3k2=k+3k2=2k，

∴a5b5=a1+4d1b1+4d2=26k+4×7k2k+4×k=9，

a5b6=a1+4d1b1+5d2=26k+4×7k2k+5×k=547.

解法2：設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的首項和公差分別為a1、d1和b1、d2，等差數(shù)列{an}的前n項和公式An=na1+12n（n-1）d可以看做是變量n的二次函數(shù)，由AnBn=7n+45n+3，不妨直接設(shè)An=kn（7n+45），Bn=kn（n+3），

則a1=A1=52k，b1=B1=4k.

∴A2=a1+a2=2k（7×2+45）=118k，a2=118k-a1=66k，B2=b1+b2=2k（2+3）=10k，b2=10k-b1=6k，

得d1=a2-a1=66k-52k=14k，d2=b2-b1=6k-4k=2k.

∴a5b5=a1+4d1b1+4d2=52k+4×14k4k+4×2k=9，

a5b6=a1+4d1b1+5d2=52k+4×14k4k+5×2k=547.

解法3：在等差數(shù)列{an}中，若m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq，特別地，2an=a1+a2n-1，∴a5b5=2a52b5=a1+a9b1+b9=92（a1+a9）92（b1+b9）=A9B9=7×9+459+3=9.

但是，此解法只能解決問題1，若用來解決問題2定會出錯：a5b6=2a52b6=a1+a9b1+b11=92（a1+a9）112（b1+b11）×119=119×A9B11=119×7×9+4511+2=667，

問題出在第5個等號，把已知條件“AnBn=7n+45n+3”當成“AnBm=7n+45m+3”.

反反復(fù)復(fù)地研讀這三種解法，思量著解法1和解法2中的某些步驟實在是非常精妙，而解法3又太巧太特殊了，它又只能解決問題1.然而，“老師，這些解法怎么這么難啊！”“老師，這些解法怎樣想得到啊？”“老師，這些解法怎樣記得住啊？”“這些學(xué)生怎么搞的？這些內(nèi)容、方法我都講了多少遍還是沒有掌握.”這些聲音在數(shù)學(xué)課堂上、在數(shù)學(xué)教師之間恐怕沒少聽到吧.我們教研室正在做一個課題研究：山區(qū)農(nóng)村學(xué)校校本研修的有效策略研究.研究校本研修的有效策略，探索山區(qū)農(nóng)村學(xué)校校本研修的基本方式和基本方法，目的是提高教師的素質(zhì)和專業(yè)水平，促進教師的專業(yè)發(fā)展，加強山區(qū)農(nóng)村學(xué)校的教師隊伍建設(shè)，推進山區(qū)農(nóng)村學(xué)校的課程改革，最終提高教育教學(xué)質(zhì)量.2010年頒布和實施的《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》，對教師提出了更高的要求，高中的新課程標準也將在廣西全面開展實施，這是一個教育的轉(zhuǎn)型時期.但是，無論什么時候，“教什么”，“怎么教”，總是每一個教師必須面對的問題.因此，要有效地提高課堂教學(xué)質(zhì)量，還必須把設(shè)計“教師如何教”轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)計“學(xué)生如何學(xué)”，使有效教學(xué)與高效學(xué)習(xí)相結(jié)合，這也是新的課程改革對教師教育的新要求.

李海良老師有一篇文章是《讀著并困惑著》[《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》（2010·7（上旬））.李老師認為，一個好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒有任何一節(jié)課（一道題）是可以教（解決）得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個教學(xué)（解答），而且在任何的情況下，我們總能提高自己對這個教學(xué)（解答）的理解水平.文中的“困惑5”令筆者深有同感，關(guān)于一題多解，李老師應(yīng)該是希望能找到一種大多數(shù)學(xué)生比較容易想得到的，也能做得下的方法，哪怕這個解法的計算多一些、書寫長一些.筆者非常贊同李老師的這種觀點，更希望廣大的中學(xué)數(shù)學(xué)教師也能這么想這樣做.

基于此，再對問題1、問題2作進一步的探究，還可以得到下面的解法4.

解法4：由AnBn=7n+45n+3，

當n=1時，得A1B1=7×1+451+3=13，

又A1=a1，B1=b1，∴a1=13b1.

當n=2時，得A2B2=7×2+452+3=595，

∴a1+a2b1+b2=595，得2a1+d12b1+d2=595，

∴26b1+d12b1+d2=595，得d1=59d2-12b15.

當n=3時，A3B3=32（a1+a3）32（b1+b3）=a1+a3b1+b3=2a22b2=a2b2，

又A3B3=7×3+453+3=11，∴a2=11b2，∴13b1+d1=11（b1+d2），∴d1=11d2-2b1，∴59d2-12b15=11d2-2b1，∴b1=2b2.

∴a1=13b1=26d2，d1=11d2-2b1-11d2-2×2d2=7d2，

∴a5b5=a1+4d1b1+4d2=26d2+4×7d22d2+4d2=9，

并且a5b6=a1+4d1b1+5d2=26d2+4×7d22d2+5d2=547.

進一步可以拓展到anbm=a1+（n-1）d1b1+（m-1）d2=26d2+（n-1）·7d22d2+（m-1）d2=7n+19m+1.

至此，反回去又可以再驗證a5b5和a5b6.

綜合起來，上述四種解法中，解法4應(yīng)該算得上是通法、常法，而且，所有與數(shù)列求和有關(guān)的問題，都可以從n=1，2，3開始進行探究.

（責(zé)任編輯 金 鈴）