直線方程問題的解法探究

眾所周知，研究數學問題可以從多種角度去研究，也就是所謂的一題多解、一題多變、多題一解.其實解決數學問題時可以用一種“格式化”的解法來解，同時也可以用多種方法來解決，這就是所謂的解法多樣化.日前，我在教學中碰到了這樣的問題：（1）求過點（-3，4）且在坐標軸上的截距相等的直線l的方程；（2）求過點（-3，4）且在坐標軸上的截距的絕對值相等的直線l的方程.這個問題是用“格式化”的解法來解，還是采用多種解法來解呢？下面我做一下分析.

解：（1）方法一：①設直線的方程為y=kx，k∈R，將點（-3，4）代入直線方程，可得k=-43，所以直線方程為y==-43x；②因為截距相等，而且此時在x軸、y軸上的截距不能為零，所以可設直線l的方程為xa+ya=1，將點（-3，4）代入直線方程，可得a=1，所以直線方程為x1+y1=1，即x+y-1=0.

綜上可得，所求的直線方程為：y=-43x或x+y-1=0.

采用截距式方法求解時應要注意在x軸、y軸上的截距是否有一個為零，有一個為零時截距式的直線方程形式就不可以用.而此題的直線能否過直角坐標系的原點，大部分學生不太清楚，很容易在此失分.這就是這種方法的不足之處.

方法二：因為過點（-3，4）的直線在坐標軸上有截距，所以直線的斜率不可能不存在，又因為在x軸、y軸上都有截距，所以直線的斜率不可能為0.設直線的方程為y=kx+b（k≠0），∵直線過點（-3，4），∴將點（-3，4）代入直線方程得4=-3k+b ①

令x=0，則y=b；令y=0，則x=-bk，∵在坐標軸上的截距相等，∴b=-bk ②

由①②解得：b=0時，k=-43；k=-1時，b=1.

∴所求的直線方程為：y=-43x或x+y-1=0.

在解②式的過程中，可能會有很多學生把b=0這一解弄丟，所以在解方程時，要注意當兩邊同時約掉一個數的時候要看它是否能為零，這是這種方法易錯的地方.

點評：第一種方法需要分類討論.分類討論思想是高考必考的思想之一，但很多學生難以想到用分類討論的思想，總會在用截距式方法求直線方程時想不到它的截距為零的情形，特別容易發(fā)生錯誤；而第二種方法——斜截式，依題意需要知道截距，就是求在x軸、y軸上的截距，在求截距的過程中就能夠清楚知道斜率為什么不能為零（因為它做了分母）.但這種方法比較遺憾的是方程很難解，在解方程時容易發(fā)生錯誤.我認為這兩種方法各有千秋.如果學生解方程的能力比較強的話，建議用第二種方法，這樣少解的幾率就很小了；反之，可以選擇第一種方法，至少能得些分數.

（2）方法一（需要考慮三種情況）：

①經過直角坐標系的原點，根據（1）可得直線方程為y=-43x.

②截距相等且不為零，根據（1）可得直線方程為x+y-1=0.

③截距互為相反數且都不為零，所以可以設直線的方程為xa+y-a=1，將點（-3，4）代入直線方程，可得y-x-7=0.

綜上可知，直線方程為y=-43x或x+y-1=0或x-y+7=0.

方法二：設直線方程為y=kx+b（k≠0），根據題意可知|b|=|-bk| ③

由③得，|b|=0或|k|=1，結合①可得b=0，k=-43；k=1，b=7；k=-1，b=1.

綜上可知，直線方程為y=-43x或x+y-1=0或x-y+7=0.

點評：第一種方法，學生存在的問題是經過坐標原點的會少，截距互為相反數也會少，如何去設截距互為相反數的方程形式是個難點.而第二種方法，還是方程的解的問題，變量已經設出來了，就差解方程了.

綜上可知，在解決直線方程問題時，我們應根據題意來設直線方程的形式，并選擇合適的方法進行求解，這樣會減少計算的量，減輕學生的負擔.所以我們應教育學生在解題的過程中將多樣化解法和“格式化”解法相結合，從而更好地解決遇到的數學問題.

（責任編輯 黃春香）