多目標線性規(guī)劃在項目管理中的應用

[摘要] 在多目標組合管理過程中，對現有資源的合理分配提出了如何利用多目標規(guī)劃理論進行優(yōu)化處理的一種方法。整個思考過程包括整體目標的設定和多目標規(guī)劃模型的建立。主要思想是通過構建適當的規(guī)劃模型，獲得各個項目對整體目標的貢獻度，并由貢獻度與其他因素進一步組合建立二次、三次等需求規(guī)劃模型，從而最終獲得資源優(yōu)化配置方案。

[關鍵詞] 多目標規(guī)劃； 資源優(yōu)化配置； 整體目標； 項目貢獻度

[中圖分類號] F224.31 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2013）04- 0061- 03

運籌學是近40年發(fā)展起來的一門新型學科。它用定量分析的方法為管理決策提供科學的依據。線性規(guī)劃是運籌學發(fā)展中比較成熟的重要分支，其本身具有一套成熟而完善的理論體系。對于一些單目標的決策規(guī)劃問題，線性規(guī)劃有著極其廣泛的應用[1]。然而隨著現代社會的迅速發(fā)展，現實管理過程中出現了大量復雜的多目標決策問題，很多情況下目標之間不僅互為影響，甚至充滿了矛盾和沖突。譬如：目標A要求某任務的質量達到最高水平；目標B要求實現該任務的成本必須達到最低水平，顯然兩者對同一個任務來說是互為制約的目標。由此可見如何科學地平衡這些目標進而達到整體效益最大化，是需要深入思考的。通過研究人們發(fā)現，傳統的一些管理辦法是不能有效地解決上述問題的。為此多目標決策問題的研究便應運而生，其中又以多目標線性規(guī)劃問題最引人注目，這是因為一般日常工作中的決策優(yōu)化問題，很多情況下目標函數與變量之間，約束條件與變量之間往往存在著一定的線性函數關系，即使某些復雜的非線性函數關系也可采用一些線性逼近法進行處理。多目標線性規(guī)劃與傳統方法在方法論上是有所不同的，它的核心思想是強調系統性：即多目標規(guī)劃方法在于尋找一個“盡可能”滿足所有目標的滿意解，而不是尋找絕對滿足這些目標的值[1]。

1 多目標線性規(guī)劃問題的數學模型及特點

一般形式（向量形式）為[2]：min Z = CQ滿足AX + Q′+ Q″ = B X，Q，Q′，Q″ > 0，這里 C、Q、A、X、Q′、Q″、B均為矩陣或向量的形式。與線性規(guī)劃相比，多目標規(guī)劃標準型的特點在于：

（1） 構建偏差列向量Q′、Q″ 。分別為負、正偏差列向量，各有 m（m是約束方程的個數）個元素。負偏差變量的含義為當實際值小于目標值時，實際值與目標值的偏差為負偏差，正偏差變量則為當實際值大于目標值時，實際值與目標值的偏差為正偏差。

（2） 價值系數行向量C。C的元素最多不超過 2m個，由目標優(yōu)先權等級Pi （i = 1，2，…， 2m）和目標優(yōu)先權系數ηi組成。目標優(yōu)先權排序P[1]，P[2]，…，P[2m]給出了多目標規(guī)劃迭代過程中實現目標的順序。低級目標的實現不能影響高級目標的實現。

（3） 在多目標規(guī)劃的目標函數中，出現的變量只能是偏差變量。目標優(yōu)先權等級 Pi既不是變量，也不是常數，它只是說明不同目標實現的先后順序，Pi的確定一般是由決策部門根據單位具體情況及各目標的輕重緩急加以確定的。而同級目標優(yōu)先級系數ηi，則通常用來說明同一優(yōu)先級目標相互之間的比例關系，比例關系的確定應按具體問題的性質和決策要求來定義。

（4） 多目標規(guī)劃的目標函數是向量值函數，一般情況下不存在通常意義的最優(yōu)解，而是一組解的向量空間。因此多目標規(guī)劃主要考慮如何使問題的向量目標在某種意義下獲得非劣的有效解。必須根據決策者的滿意程度在有效集中找到最終滿意解作為決策的依據。

2 多目標規(guī)劃在項目管理中的意義

縱觀項目管理領域，決策問題可謂種類繁多，因為除了一些普遍的原則以外，更多的決策問題取決于項目本身的關注點和具體的目標要求。然而有一點是能達成共識的，即在多項目組合管理中，如何在確保實現某單位整體戰(zhàn)略目標的基礎上，兼顧各個項目的目標，并自上而下地平衡和協調各個項目的資源使用，使得現有的資源能得到最大化地利用是項目組合資源優(yōu)化管理中的核心問題。實際工作中通常的情況是項目管理委員會可能會從兩方面來考慮：第一種情況，要求項目A完工時間必須最短，項目B預算成本最低，項目C質量最好，項目D所使用的人員最少等，這種情況下，各個目標的關注點不同，因而目標相互之間獨立，無明顯的沖突和矛盾。第二種情況， 要求每個項目無論是成本、完工時間、質量和資源配置等目標都要同時最優(yōu)化。這種情況下，目標之間往往互為影響，甚至存在嚴重的沖突。前面的分析已經指出，很難利用線性規(guī)劃來解決上述問題。因為線性規(guī)劃只研究在滿足一定條件下，單一目標函數如何取得最優(yōu)解，線性規(guī)劃也并不區(qū)分各個約束條件重要性。而多目標規(guī)劃能彌補線性規(guī)劃的這些局限性，特別是當出現多個目標互為制約和矛盾時，通過多目標規(guī)劃方法，使一些線性規(guī)劃無法解決的問題能得到滿意的解答。本文正是從這個角度出發(fā)，來研究現有資源的優(yōu)化和配置問題，特別是針對第二種情況，通過分析具體問題建立相應的規(guī)劃模型，以期獲得各個項目應具有的貢獻度，并在此基礎上為今后的各項具體管理決策提供科學的依據。

3 研究方法

3.1 首先設定項目管理部門的整體目標

對于一個項目管理部門來說，需要制定一些整體目標。這些目標的制定可以通過統計推斷歷史數據，或通過線性規(guī)劃，也可通過其他定量化方法得到。總之， 一般來說我們總可假設， 在作多目標管理決策前， 這些整體目標數據是存在的。

3.2 區(qū)分各個目標的優(yōu)先等級

因為現有資源總是有限的，且當目標之間出現不可調和的矛盾時，必然需要將目標按重要性的不同分成一級目標、二級目標，等等。可以把目標優(yōu)先級作如下約定：

（1） 對同一個目標而言，若有幾個決策方案都能使其達到，可認為這些方案就這個目標而言都是最優(yōu)方案；若達不到，則與目標差距越小的方案越好。

（2） 不同級別的目標的重要性是不可比的。所以在判斷最優(yōu)方案時，首先判斷較高級別的目標是否達成，如果達成的話，再進行下級目標的判斷。

（3） 同一級別的目標可以是多個。它們之間的重要程度可用數量（權數）來描述。

（4） 若多目標規(guī)劃問題的解能使所有的目標都達到，就稱該解為多目標規(guī)劃的最優(yōu)解；若解只能滿足部分級別較高的目標，就稱該解為多目標規(guī)劃的次優(yōu)解或可行解。若找不到滿足任何一個目標的解，就稱該問題為無解，這表明當前所有的約束條件互為矛盾，提示管理層應該重新設定可行的目標。

如果能直接從規(guī)劃模型中得到每種資源的配置數據，那固然最好，但建立這樣的模型往往比較困難，甚至是做不到的。因為通常來說每個項目對每項資源的需求函數是不同的，甚至得不到正確的函數表達式。由于函數結構的不同，所以就不太可能在一個模型中一次完成規(guī)劃。筆者仔細研究后發(fā)現可以簡化該問題，即可以將該問題轉換為多次規(guī)劃。首先通過目標規(guī)劃模型計算各個項目的貢獻度， 然后以貢獻度指標作為下一步各種資源配置模型或其他管理決策模型的重要輸入做二次或多次規(guī)劃。

3.3 目標規(guī)劃數學模型