數學思想方法和應用題教學

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性概括和認識.而數學方法是解決數學問題的途徑，是數學思想的反映.教學中教師應該注重數學思想方法的滲透，數學思想方法應該與整個數學知識的講授融為一體，才有利于學生真正地理解和掌握所學知識，提高學生學習能力.下面筆者就談談在應用題教學中所滲透的幾種數學思想方法.

一、應用題教學中要運用方程思想

例如，七年級數學教材一道習題：某中學的學生自己獨自整修操場，七年級學生單獨完成工作需要6小時，八年級學生單獨完成工作需要5小時，如果現在由七、八年級學生一起先工作1小時，再由八年級學生單獨完成剩余部分，問總共需要多少時間？

對于剛上七年級的學生來說，不少人還是習慣于用算術方法來解題，而不習慣從列方程的角度來想問題，所以他們會這樣解：

七八年級一起做1小時工作量：（1÷6+1÷5）×1=1130，

八年級完成剩余部分所需時間：（1-1130）÷15=196

總共需要時間：1+196=256（小時）

如果運用方程解問題會更簡單.設總共需要時間x小時.根據題意很容易發現等量關系：七年級工作量+八年級工作量=1，所以列方程為：

16+x5=1，解得x=256.

答：總共需要時間256 小時.

從這道題解法對比看到，用方程來解簡單明了，相比算術方法需要反向思考而言，列方程是用順向思維解決問題，思維過程比較簡單，這樣順著題目中的數量思考解題容易了許多.

二、應用題教學中要滲透數形結合思想

例如，甲、乙分別從A、B兩地騎自行車同時相向勻速而行，經過2小時后兩人相距30千米，再經過2小時兩人又相距30千米，求A、B兩地的距離.

解：設A、B兩地距離為x千米.由題意畫以下直線形示意圖.

圖1

圖2

從圖1可以看到2小時兩人總行程為（x-30）千米，從圖2可以看到4小時兩人總行程為（x+30）千米.根據甲乙兩人速度和不變，得出方程

x-302+x+304，解得x=90.

答：A、B兩地距離為90千米.

利用圖形的直觀，通過“以形助數”和“以數解形”，將問題由抽象變具體，把模糊變清晰，從圖形中找出解題思路，使問題難度降低，從而解決問題.

三、應用題教學中要巧用分類討論思想

例如，某地移動公司電話計費采用以下兩種方式，方式A：免月租，每分鐘0.25元；方式B：月租30元，主叫每分鐘0.1元.選哪一種方式更省錢？

分析：采用哪種方式省錢，計費的多少與主叫時間有關，不同的使用時間，會有不同可能情況.所以這道題我們只能通過分類討論才能解決.

解：設主叫時間為x分鐘.

當方式A比方式B省錢：0.25x<30+0.1x，則有x<200.

當方式A和方式B收費相同：0.25x=30+0.1x，則有x=200.

當方式B比方式A省錢：0.25x>30+0.1x，則有x>200.

答：（略）.

四、應用題教學中要發現隱含轉化思想

數學轉化思想就是指在研究和解決有關數學問題時，把問題從一種形式轉化為另一種形式，如把未知條件轉化為已知條件；把復雜問題轉化為簡單問題；從而最終解決問題的一種數學思想.

例如：某中學七年級舉辦一場數學知識競賽，共有20道題，答對一題得5分，答錯一題扣1分，不答不得分也不扣分，某學生在競賽中答錯的比不答的多3題，總共得71分，問該學生在這次競賽中答對了多少題？

解：設該學生沒有答x題，則答錯（x+3）題，答對[20-（x+x+3）]題，依題意得：

5[20-（x+x+3）]-（x+3）=71，

x=1，

∴20-（x+x+3）=20-5=15.

答：該學生答對15題.

（責任編輯 黃桂堅）