對圖形形狀和位置不確定的分類討論

摘 要：分類討論思想是研究與解決數學問題的重要思想之一，在中學數學的應用十分廣泛。本文主要是結合教學實踐談談如何在初中數學課堂里圖形形狀和位置不確定時的分類討論滲透分類思想。

關健詞：分類；討論；不確定

分類討論思想就是把要研究的數學對象按照一定的標準劃分為若干不同的類別，然后逐類進行研究、求解的一種數學思想。分類討論時，必須遵循“不重不漏”的原則，要確定目標，恰當分類，逐步討論，歸納結論。近年來，各地中考試題中涉及“分類討論”的問題經常出現，因為這類試題不僅考查數學基本知識與方法，而且考查了學生思維的深刻性。在解決此類問題時，學生因顧此失彼考慮不周全導致少解或漏解造成失分的較多，分類討論思想在初中幾何《相交線與平行線》、《三角形》等很多章節都有所體現，在課堂教學中常常會遇到需要進行分類討論的問題，因此從初一開始對學生滲透分類討論思想很有必要。

正確解答圖形形狀和位置不確定的題目時要分析清楚符合條件的圖形各種的可能位置，對圖形不確定的形狀和位置進行分類討論，保證其完整性，使之具有確定性，緊扣條件，分類探討出各種符合題目條件的圖形。空間想象能力和畫圖能力是正確解答此類分類討論問題所必須具備的能力，教學中應注意對學生畫圖能力和空間想象能力的潛移默化，讓學生多操作、多思考，提高學生各方面的數學能力，通過對開放性問題的討論，對條件的不確定性與結論多樣性的探索、猜想，充分拓展學生的思維空間，讓他們的思維更縝密、深刻、廣闊、活躍。

一、分類討論在《圖形認識初步》的應用

例1、在同一平面內的三條直線，它們的交點個數可能是（ ）

引導學生對同一平面內的三條直線可能的情況畫圖（如圖1）：

二、分類討論在《相交線與平行線》中的應用

例2 如果∠1與∠2的兩邊互相平行，那么這兩個角（ ）

A.相等 B.互補

C.相等或互補

D.無法確定

分析 如圖2，∠1與∠2的兩邊互相平行∠1與∠2有相等和互補兩種情況

三、分類討論在《多邊形內角和》中的應用

例3 少年智力開發報2012《數學專頁》第34期中有一題：在一次數學活動課中，張強將一個正方形的紙片截去一個角，那么你能幫他計算余下多邊的內角和度數嗎？

分析 將正方形截去一角后，余下的多邊形可能為五邊形，四邊形，三角形（如圖3）

四、分類討論在特殊的三角形形狀不確定時的應用：

例4 龍巖市2009中考適應性練習三第25題：如圖4： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A= 30°，AD=BC，點P是AB邊上的一個動點（不與A、B重合）， 以P為頂點順時針作∠DPQ= 30°，交射線BC于點Q，連結DQ

（1）試判斷△ADP是否與△BPQ相似？并給出證明；

（2）若AD=2，AB=4■，且△PQD為直角三角形，試求AP的長

解 （1）判斷：△ADP∽△BPQ

證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形∴∠A=∠B=30°

又∵∠QPB+∠DPQ=∠A+∠ADP

∠DPQ=∠A=30°

∴∠QPB=∠ADP

∴△ADP∽△BPQ

例5 龍巖市2009中考適應性練習四第26題：

如圖7，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，動點P從點D出發，以每秒2個單位長的速度沿射線DA方向運動，動點Q同時從點C出發，以每秒1個單位長的速度沿線段CB向點B運動，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動時間為t（s）

（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式

（2）當t為何值時，△BPQ為等腰三角形？

（3）略

分析 本題的第（2）小題要探討當t為何值時，△BPQ為等腰三角形，根據等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形可知，要使得△BPQ是等腰三角形，只要滿足△BPQ中有兩邊相等。所以本題就可以從△BPQ中有兩邊相等來進行分類討論，即QP=QB或BP=BQ或 PB=PQ三種情況，具體如下：

由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t

①若QP=QB，則在Rt△PMQ中，PQ2= t2+122，由PQ2= BQ2得（16- t）2= t2+122

解得：t=■

②若BP=BQ，則在Rt△PMB中，BP2=（16- 2t）2+122由BP2= BQ2得

（16- 2t）2+122=（16- t）2 即3t2-32t+144=0

此時△=-704<0 ∴3t2-32t+144=0沒有實根，

∴BP≠BQ

③若PB=PQ由PB2= PQ2得t2+122=（16- 2t）2+122

即3t2-64t+256=0解得t1=■， t2= 16（不合題意，舍去）

綜上所述，當t=■或t=■時，以BPQ三點為頂點的三角形是等腰三角形。

五、分類討論在特殊的四邊形位置不確定時的應用：

例6 龍巖市2010中考適應性練習三第25題：

如圖8，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于C點，連結AC，BC （1）求拋物線的解析式；

（2）若動點D在AB上，DE∥BC交AC于點E，記AD=t，△BDE的面積為S，求S關于t的函數關系式；并求t為何值時，S有最大值？

（3）記S取最大值時過點D且垂直于x軸的直線為l，那么在直線 l 上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

分析 （1）利用A、B兩點坐標代入y=-x2+mx+m計算，可得y=-x2+2x+3.

（2）設D為AB上的任一點，AD=t，由圖得S=△BDE面積=■BDh.

BD=4-t；∵△ADE∽△ABC，得

■=■=■，得■=■，h=■.

S=■（4-t）×■t （1）

從（1）式，可得t=2時，S有最大值，如圖8。（解法略）

（3）小題問在直線 l 上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形就要用到分類討論的方法：

如圖9，存在P點，分三種情況：

1°過點C作CP1∥AB交l于點P1，顯然，CP1≠AB，所以四邊形ABP1C是梯形，得P1（1，3）

2°過點A作AP2∥CB交l于點P2，顯然AP2≠BC，所以四邊形AP2BC是梯形，得P2（1，-2）

3°同理過點B作BP3∥AC交l于點P3，顯然，BP3≠AC，所以四邊形ACBP3是梯形，得P3（1，-6），（解法略）

綜上：存在著這樣的點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形，此時P點坐標為（1，3），（1，-2），（1，-6）。

總之，分類討論不僅是一種邏輯方法，而且是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.常常能起到簡化問題、解決問題的作用，在初中數學教學中，滲透“分類討論” 思想是完全可以的。問題在于教學中如何去滲透，特別是如何把握滲透的“度”。通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。教師可根據初中生的特點，循序漸近、逐步深化，并應用靈活多變和有效的教學手段來實施分類討論方法的滲透，培養和發展學生思維的條理性、縝密性，從而達到提高學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]林群.義務教育課程標準實驗教科書數學[M].北京：人民教育出版社，2007.