復變函數(shù)與積分變換課程的教學改革與實踐

[摘 要] 針對復變函數(shù)與積分變換課程教學的現(xiàn)狀和存在的問題，合理整合教學內容，講好思想方法，貫徹直觀性教學原則，加強啟發(fā)式教學方法，加強與高等數(shù)學的銜接性，適當減輕學生記憶的壓力，從而收到良好的教學效果。

[關鍵詞] 復變函數(shù)；積分變換；教學改革與實踐；啟發(fā)式教學

[中圖分類號] O177.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1005-4634（2013）04-0092-04

0 引言

復變函數(shù)與積分變換是大學工科相關專業(yè)，尤其是機電類專業(yè)的必修基礎課，它在電路理論、通信工程、信息處理、自動控制、信號與系統(tǒng)等課程中有著廣泛的應用。通過本課程的學習，可以使學生掌握復變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為后續(xù)專業(yè)課程的學習提供必要的數(shù)學基礎，因此做好復變函數(shù)與積分變換的教學工作是十分重要的。本文分析該課程教學的現(xiàn)狀和存在的問題，總結和提出幾點教學改革的經驗和體會，以期對提高該課程的教學效果提供有益借鑒。

1 復變函數(shù)與積分變換課程的教學現(xiàn)狀及存在的問題

多年來，筆者一直在河北工業(yè)大學統(tǒng)招生（一本）和城市學院（三本）從事復變函數(shù)與積分變換的教學工作。在教學中發(fā)現(xiàn)，該門課程的不及格率相對較高，學生學習該門課程的畏難情緒很大，甚至將其稱為大學“最難的數(shù)學課”。每次期末考試時都會發(fā)現(xiàn)一些學生得分較低，對一些重點教學內容、考試必考內容竟然一無所知，如求復變函數(shù)的可微點與解析點、求復變函數(shù)沿一個閉路的積分、用拉普拉斯變換解微分方程等。究其原因，有以下三點。

1）該課程理論性強，嚴密的數(shù)學推導過多，缺少直觀性，缺少實際應用的背景，這使得教學內容枯燥，學生的學習積極性不高，特別是學習基礎不好的同學，對該課程的學習望而生畏，甚至中途放棄。

2）該課程作為高等數(shù)學的后繼課程，與高等數(shù)學的知識聯(lián)系極其緊密，許多理論知識是實函數(shù)到復函數(shù)的推廣，很多題目必須應用高等數(shù)學的知識才能完成，但許多學生對高數(shù)知識的掌握程度不能為學好該課程提供必要的基礎，高數(shù)的相關知識記憶不深，這是學好該門課的一個主要困難。

3）該課程結論密集，需要記憶的結論和公式太多，有些公式不記住便不可能完成一些基本的問題，如一些常見函數(shù)在 處的泰勒展開式、一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換；有些公式不好記憶，形式上容易混淆，如拉普拉斯變換的性質與傅里葉變換的性質等等。筆者經常發(fā)現(xiàn)學生在考試時將公式弄混，有的學生做考題時方法都對，只是應用的公式就差一個符號。目前河北工業(yè)大學將向量分析與場論、復變函數(shù)、積分變換做為一門課在同一學期開設，共64學時，該課程加上向量分析與場論必須記住的公式和結論，記憶的壓力確實不小，要想記憶好這些公式和結論，必須依靠平時的日積月累，僅靠考前突擊是不可能成功的。

學生學習復變函數(shù)與積分變換的實際情況，要求教師必須對該課程從教學內容和教學方法上進行適當?shù)恼{整和改革，而任何改革必須從實際出發(fā)，因此要切實幫助學生掌握教學大綱規(guī)定的基本內容，使其在參加全校統(tǒng)一進行的期末考試時有更好的成績，從而達到良好的教學效果。

2 教學改革的內容

2.1 整合教學內容，講好思想方法

在教學中對教材《復變函數(shù)與積分變換》[1]中的內容進行適當調整，主要是淡化數(shù)學推導，根據(jù)學生的實際水平和學時數(shù)，適當刪減理論性較強的內容和方法雷同的繁瑣定理證明，用寶貴的學時講好重點內容，練好重點內容，真正消化重點內容，體會好課程內容的思想方法。例如，復變函數(shù)中級數(shù)部分的重點是“復數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)收斂圓的基本性質”、“泰勒級數(shù)和羅朗級數(shù)的求法”、“孤立奇點類型的判定和殘數(shù)的求法”。 顯然，其中的復函數(shù)項級數(shù)“一致收斂”的概念，不是復變函數(shù)中的教學重點，學生在高數(shù)中沒有學習過實函數(shù)項級數(shù)“一致收斂”的概念，若直接講解復函數(shù)項級數(shù)“一致收斂”的概念，就會成為“空中樓閣”，效果肯定不佳。因此，復變函數(shù)項級數(shù)“一致收斂”的相關結論可略去不講，而冪級數(shù)在收斂圓內的性質可直接給出，后面定理證明中牽扯到“一致收斂”的，可略去不講或簡要說明一下方法即可[2]。類似的，如柯西不等式、解析函數(shù)唯一性定理、拉普拉斯變換性質中的終值定理和初值定理、傅里葉變換中的相關函數(shù)和巴塞瓦爾定理、-函數(shù)的一些復雜的性質等均可略去不講或做簡要介紹。再如，教材中對常見函數(shù)的拉普拉斯變換、拉普拉斯變換與傅里葉變換的性質以及兩個變換中的卷積定理均給出了詳細的證明和推導，不難看出這些證明和推導的方法都是由定義出發(fā)進行恒等變形，必要時進行變量代換，對累次積分進行積分交換次序，最后得到結論。因此，在講解這些證明和推導時，可選擇有代表性的內容細致講解，方法雷同的證明和推導可適當刪減或簡單說明，重要的是幫助學生體會研究問題的思想方法。

2.2 貫徹直觀性教學原則和加強啟發(fā)式教學方法

直觀性原則是指在教學中，通過教師語言的形象描述，引導學生借助已有的知識，直接觀察所研究的事物，形成有關事物全貌的清晰表象。啟發(fā)式教學方法是指教師在教學中，從學生的實際出發(fā)，采用多種方式，引導學生積極主動地思維。復變函數(shù)與積分變換內容抽象，充滿了定義、定理和結論，眾多的數(shù)學推導看上去數(shù)學符號一大堆，學生感到是在做數(shù)學游戲，普遍存在厭學情緒，課程的這種特點迫切需要抽象的問題能夠有簡單直觀的解釋，能結合圖示的盡量結合圖示，教學語言盡量通俗和直白，闡述問題力求簡單和明了[3]。必須改變學生被動聽講的局面，讓學生參加到教學活動中來，使學生在老師的啟發(fā)下，通過思考教師提出的問題，一步一步地理解和接受所學的知識，從而增加學生學習的信心和興趣。

例如，教材[1]中有一個重要的結論“冪級數(shù) 收斂范圍是一個圓域，稱為冪級數(shù)的收斂圓，收斂圓半徑 稱為冪級數(shù)的收斂半徑”。 教材中是應用高數(shù)的知識，通過做一個實系數(shù)的冪級數(shù)來證明此結論。事實上，在此結論前剛講過阿貝爾定理，應用阿貝爾定理并參考文獻[2]，結合畫圖可簡單直觀地得出此結論。

2.3 加強與高等數(shù)學的銜接性

復變函數(shù)是高等數(shù)學的后繼課程，是高等數(shù)學的繼續(xù)和發(fā)展，傅里葉變換也是在傅里葉級數(shù)基礎上的繼續(xù)，因此復變函數(shù)與積分變換和高等數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系，搞好與高數(shù)相關知識的銜接不僅有利于學好復變函數(shù)與積分變換自身的內容，更有利于深化掌握高等數(shù)學的知識。

復變函數(shù)與高等數(shù)學在內容上有很多相似之處，如都包括極限、連續(xù)、可導、積分、冪級數(shù)等內容，但它們也有自身特有的內容，如解析、羅朗級數(shù)、孤立奇點分類、殘數(shù)、保形映射等。復變函數(shù)與高等數(shù)學的聯(lián)系表現(xiàn)在以下兩個方面。

2）在復變函數(shù)中總是不斷地應用高等數(shù)學的知識，可以說對高等數(shù)學知識的掌握程度直接影響著復變函數(shù)的學習。如當判定 可微時，首先要判定二元實函數(shù) 、 的可微性、復積分 的計算可轉為兩個實積分的計算、復級數(shù) 收斂的判定轉化為兩個實級數(shù)收斂的判定等等。在應用高等數(shù)學知識解決問題時，應根據(jù)學生的實際情況和學時情況簡要說明在高等數(shù)學中的相應概念、定理等相關知識，要求學生將過去用過的高等數(shù)學教材做為學習復變函數(shù)的最重要參考書之一，隨時查閱和對比，而教師也要熟悉學生所用的高等數(shù)學教材，了解學生學習高等數(shù)學的基本情況。

2.4 適當減輕學生記憶的壓力

復變函數(shù)與積分變換這兩門課中有不少公式和結論，教師應從學生實際情況出發(fā)，側重于使學生掌握基本的思想和方法，盡量減少記憶的內容，明確告之學生哪些是必須記住的公式和結論，哪些是不必記住的，從而減輕學生的壓力；要求學生記住的東西，教師自己必須先記住，師生共同尋找記憶公式的好方法，若要求學生必記的內容，而老師自己卻看著書念或記憶不熟，勢必會影響學生記憶眾多公式的信心和決心；為了幫助學生記憶，應加強對教學內容和解題方法的總結、概括和提煉，分析公式的特點和規(guī)律，甚至對結論和公式做適當?shù)恼吓c變形，力爭做到有理解的記憶，盡量避免死記硬背；在教學中，當用到已學過的必須記住的公式和結論時，應引導學生回憶，指出公式和結論的出處，提高重復率，在應用公式和結論時強化記憶。

3 結束語

筆者近幾年分別在河北工業(yè)大學統(tǒng)招生和城市學院（獨立學院）從事復變函數(shù)與積分變換的教學工作，逐步嘗試按照上面教學改革的4個方面進行了實踐。特別是近兩年秋季學期，改革的嘗試和實踐比較徹底，均收到了良好的效果。在與學生的交流中，感到學生對復變函數(shù)與積分變換學習的畏難情緒大大減弱，記憶的壓力得到緩解，自信心和學習興趣有較大的提高，學生考試成績有所提高，不及格率有所下降。其中加強與高數(shù)的銜接性深受基礎較好準備考研同學的歡迎。以2012年秋季學期為例，筆者擔任城市學院10個班的教學工作，此前河北工業(yè)大學城市學院按大類招生，一年后再分流到各個專業(yè)，其中學習基礎較好、分流專業(yè)時分數(shù)較高的某專業(yè)7個班的同學，在整個學期中都表現(xiàn)出良好的學習狀態(tài)，課上與老師互動，課下積極提問題，最后正常入學的同學全部及格；另外某個專業(yè)的三個班，基礎相對較差，分流專業(yè)時分數(shù)相對較低，其中兩個班的不及格率大大低于預期設想，三個班的整體考試結果比預期設想好。

總之，鑒于學時有限、學生的學習基礎和學習態(tài)度差異大等一系列復雜原因，做好復變函數(shù)與積分變換的教學工作不是一件容易的事，要求教師必須在教學實踐中，從學生的實際情況出發(fā)，不斷摸索和改進教學方法。教學的實踐表明，合理整合教學內容，貫徹直觀性教學原則，加強啟發(fā)式教學方法，加強與高等數(shù)學的銜接性，適當減輕學生記憶的壓力是提高復變函數(shù)與積分變換教學效果的有效途徑。

參考文獻

[1]于慎根，楊永發(fā)，張相梅.復變函數(shù)與積分變換[M].天津：南開大學出版社，2006：94-100，166.

[2]西安交通大學高等數(shù)學教研室.復變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1996：110-117.

[3]曹月波，吳昭君，田宏根.復變函數(shù)教學中直觀性原則應用的思考與實踐[J].教學教育學報，2011，20（6）：86.