由《集合中元素的個(gè)數(shù)》到“莎士比亞巧合”

莎士比亞是英國(guó)著名戲劇家，其不僅才華橫溢，更有一個(gè)有趣的巧合流傳甚廣.他生于1564年4月23日，卒于1616年4月23日，生卒日期相同.下面，我們就從這個(gè)巧合說(shuō)起，談?wù)劷M合數(shù)學(xué)中最重要原理之一的容斥原理.

例1.若按每年365天計(jì)算，且一個(gè)人生卒日期均是隨機(jī)的，則他生卒日期相同的概率是多少？顯然是■.試問(wèn)，兩個(gè)人都生卒日期相同的概率呢？?jī)蓚€(gè)人中至少一個(gè)人生卒日期相同的概率呢？如果是n個(gè)人呢？

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》數(shù)學(xué)1《集合中元素的個(gè)數(shù)》一節(jié)中，對(duì)求多個(gè)集合的元素總個(gè)數(shù)，這樣解釋：

對(duì)于任意兩個(gè)有限集合A，B，有card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）[card（A）表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)].這實(shí)質(zhì)就是兩個(gè)集合的容斥關(guān)系的體現(xiàn).

三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式記作：

card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（C∩A）+card（A∩B∩C）.

n個(gè)集合的容斥關(guān)系公式記作：

設(shè)Ai（i=1，2，…，n）都是有限集合，則有

由容斥原理，我們可解決求集合元素?cái)?shù)的問(wèn)題，不妨看下題：

例2.學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，某班共有28人參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.問(wèn)同時(shí)參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人？

解：設(shè)參加游泳比賽的學(xué)生的人數(shù)為集合A，參加田徑比賽的學(xué)生的人數(shù)為集合B，參加球類比賽的學(xué)生的人數(shù)為集合C.

由容斥原理A∪B∪C=（A+B+C）-（A∩B+B∩C+C∩A）+A∩B∩C

A∪B∪C=28，A+B+C=15+8+14=37，A∩B=3，A∩C=3，A∩B∩C=0

故28=37-（3+3+B∩C），同時(shí)參加田徑和球類比賽的有B∩C=3（人）.

只參加游泳一項(xiàng)比賽的有：A-A∩B-C∩A=15-3-3=9（人）.

綜上，我們不難看出，容斥原理在解決集合問(wèn)題等數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要地位，其更加深入的應(yīng)用還希望在以后的教學(xué)中進(jìn)一步體會(huì).

（作者單位 山東省臨清市第一中學(xué)）