類比恰似偉大的領路人

摘 要：現代數學素質教育要求大力提高學生的數學修養，這不僅要讓學生掌握數學知識，而且要掌握滲透于數學知識中的思想方法，能用數學知識和方法解決實際問題。在中學數學課程設置中，從平面幾何到立體幾何，從方程、不等式到函數，從圓到二次曲線等問題的研究過程中，無不體現類比這種數學思想方法。類比思維是一種極富創造性的思維方法，是提出假說進行猜想的基礎，是各種創造性思維的源泉。

關鍵詞：類比；數學思想方法；數學學習；能力

縱觀近年來各地高考數學試題可知，教材是高考試題的根本來源。多數試題是課本的類比題，有的試題直接取自教材概念、公式、例題或習題的改編。有的試題是教材中的幾個題目或幾種方法的綜合。但是學生做習題時往往停留于機械模仿，習題的條件或結論做一些微妙的變化，就會出現答非所問，碰到新穎的題目，更是不知從何下手。究其原因，主要是學生思維僵化，不善于聯想類比，生搬硬套，缺乏隨機應變的能力。筆者就最近期末復習卷上的一道填空引發一些思考。

原題：問題“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路：方程3x+4x=5x可變成（■）x+（■）x=1，考察函數f（x）=（■）x+（■）x可知，f（2）=1，且函數f（x）在R上單調遞減，所以原方程有唯一解x=2。仿照此解法求不等式x6-（2x+3）>（2x+3）3-x2的解。

學生一：令f（x）=x6-（2x+3）-（2x+3）3+x2，通過求導判斷原函數的零點及單調性，進而求出不等式的解，但導函數還是高次函數，沒法求根，思路因此中斷。

學生二：原不等式即[（x2）3-（2x+3）3]+（x2-2x-3）>0

即（x2-2x-3）[x4+x2（2x+3）+（2x+3）2]>0

即（x+1）（x-3）[x2（x+1）2+6（x+1）2+4]>0

因為平方項恒非負，所以不等式的解為（-∞，-1）∪（3，+∞）

點評：兩位學生都沒有領悟到此題的本意，屬于方向性錯誤，這是道類比填空，屬于解題方法上的類比。原方程的求解給我們提供了一個很好的示范，變形，構造新函數，判斷單調性進而求解，而此方法也可類似的用到解不等式中。

正解：原不等式即（x2）3+x2>（2x+3）3+（2x+3）

不等號兩邊都是t3+t的形式，因此構造函數f（t）=t3+t

原不等式即f（x2）>f（2x+3）

顯然f（t）在R上單調遞增，因此只需x2>2x+3

所以不等式解為（-∞，-1）∪（3，+∞）

利用類比方法，最終把一道復雜的高次不等式轉化為簡單的一元二次不等式。而當時全班利用此方法解出的只有區區幾個學生！這一嚴峻的結果不得不讓我反思平時的課堂教學。我們只研究教師如何傳授知識，不重視學生如何自主學習。學生能夠掌握一些常規的解題方法，但一遇到稍復雜的新題型就不知所措，解題的瓶頸難以逾越。新課標提倡要培養學生的創造性思維，若教師在平時的教學中能把類比這種教學思想滲透于課堂，將對學生的思維能力、分析問題及解決數學問題能力的提高有很大的幫助，而且有利于培養學生學習數學的興趣和積極性，達到事半功倍的效果。

類比是一切理解和思維的基礎，作為一種邏輯方法，它在教學中有廣泛的應用。

一、運用類比法有效溝通新舊知識，突破教學難點

許多數學概念都有相似之處，教師在引入新概念時，運用類比有助于活躍學生的思維，因為學生一旦發現新概念特征與過去已知的概念相似，他就會積極主動地推測新概念特征的相同之處，在培養學生創新能力的同時，更提高了課堂效率。運用類比法，可以促使學生回顧舊知識，嘗試在已有知識的基礎上，去發現新結論，構建新知識，可以有效地實現舊知識在新內容中的遷移，幫助學生建立新舊知識的聯系，突破教學難點，降低教學難度。尤其在一些概念、性質、定理、公式、題型方面，是常用的教學方法。

二、運用類比法加深學生對知識點的理解

學生在進行基礎知識講解，解題指導時，往往只注意到知識點和題目的一些外在形式，而忽略了一些本質特征，如其中所蘊涵的數學思想方法，忽視知識點、相關題目間的聯系，這容易造成學生經常出現解題盲點，無法將所學知識，所掌握的解題方法、技巧順利的應用到獨立解題中。而恰當地運用類比，可以讓學生將所學知識、技能進行分析比較，找到它們之間的相互聯系和區別，探明其形式和本質的統一，從而使問題得到圓滿的解決。

三、運用類比法有利于激發學生探索，獲得“再發現”的體驗

在進行類比和知識遷移的過程中，學生是作為一個探索者、研究者和發現者而去進行研究的，這使得學生能從中獲得大量探索發現的機會。同時，類比思維在數學知識的延伸拓展中常常借助于比較、聯想，用作啟發誘導以尋找思維的變異和發散，因此，類比方法是數學發現的有效方法。在學習立體幾何中，學生可以利用平面幾何中已有的性質定理，探索和研究立體幾何中的相關性質。

例如，在學習三棱錐的體積時，由于三角形面積公式可以把三角形補成一個平行四邊形，三角形的面積是平行四邊形的面積的一半。類似的，要求三棱錐的體積，應把它補成一個三棱柱，然后再分割成三個等體積的三棱錐，運用類比的方法引導學生進行思考，學生對這種方法的理解就會毫無困難。

教師在教學中應充分發揮類比法的作用，有意地引導學生使用類比思維的方法進行學習，灌輸各種教學思想和方法，啟發學生的創造性思維，培養適合當前社會發展需要的創造型人才。

參考文獻：

廖媛.淺談類比法在數學學習中的應用.教育教學論壇，2011（11）.

（作者單位 江蘇省昆山中學）