淺談十字交叉法

摘 要：在教育的現代化的大前提下，充分應用現代技術對教育理念做出透徹的分析。通過實例說明了十字交叉法的重要性，同時對新課改的內容提出自己的建議，并且希望再現“十字交叉法”

關鍵詞：十字交叉法；教育理念

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）17-279-02

隨著新課改的變化，很多內容都發生了改變，由過去的應試教育逐漸向素質教育轉變，目前的教育更注重學生的全面發展，以及學生自身能力的提高，與此同時我們教師這個龐大的隊伍也在努力的學習著，這個“學習”也不再是過去狹隘的說法，最好是知識面廣的同時又能吃透教材，更好的服務于學生，新課改在很大程度上降低了學習的難度，可是同時也給教師帶來了一定的困難，就拿數學這一科來說吧，書上的例題都比較簡單，可是考試還是會考到書面知識以外的東西，所以教師在教的時候還是必須交上去一些刪掉的知識點，這種情況在高中教材上表現的較為明顯，在初中教科書上也有這種情況出現，比如說初中因試分解這一節，書上介紹了應用平方差公式將因式分解，完全平方公式將因式分解，提取公因式將因式分解這幾種方法，而在后面的習題或課外習題中這幾種方法并不能將所有的因式分解，有的必須要用到十字交叉法，這個內容書中沒有，所以老師即使在補充知識的時候也只是簡單的帶過，很多同學并沒有很好的掌握這個內容，這對于以后學習初三的《一元二次方程》的解法以及一元二次函數圖像與X軸的交點求法都是很有幫助的，我認為該內容有必要在書中作為例題出現，也能夠引起學生足夠的重視，下面就簡單的介紹一下十字交叉的來源與應用。

“十字交叉法”最初來源于化學的計算，我們可以用它來確定化學式。

例如：我們知道‘磷’是 +5價，‘氧’是-2價，那么如何寫出磷和氧組成的氧化物的化學式呢？

書中解法：磷和氧的化合價的最小公倍數是10

所以:磷的個數=最小公倍數／化合價的絕對值=10／5=2

氧的個數=最小公倍數／化合價的絕對值=10／2=5

所以磷氧組成的氧化物的化學式為P2O5.

巧解：根據磷氧的化合價我們可以將化合價的絕對值交叉的作為原子個數，放在各自元素的下面，如果原子個數有公因數，則約為最簡。

+5 -2

所以磷氧氧化物的化學式為： P2 O5

例如：我們看看‘+3’價的鋁與‘-2’價的氧形成的化學式寫法？

書中解法：鋁和氧的化合價的最小公倍數是6

所以鋁的個數=最小公倍數／化合價的絕對值=6／3=2

氧的個數=最小公倍數／化合價的絕對值=6／2=3

所以鋁氧組成的氧化物的化學式為AL2O3

巧解：根據磷氧的化合價我們可以將化合價的絕對值交叉的作為原子個數。放在各自元素的下面，如果原子個數有公因數，則約為最簡。

+3 -2

所以磷氧氧化物的化學式為： AL2 O3

練習：氧化鈣的化學式是什么？

+2 -2

Ca o

十字交叉法很容易得到Ca2O2，將原子個數化為最簡為CaO

所以氧化鈣的化學式為CaO

從以上解題的步驟看簡單化合物可以根據化合價可以很快寫出其化學式。

隨著十字交叉法的應用也漸漸在數學領域里出現了，為我們解決某些題型帶來了很大的方便，書中沒有系統化介紹，但是在很多習題的處理上我們還是可以見到它發揮的作用，為我們解題增添了一筆亮色，其中最典型的就是初二的因式分解和初三的一元二次方程 ，下面我們再來看看數學領域的十字交叉法

例1：將X2-4因式分解則根據平方差公式我們知道X2-4=（X-2）（X+2）

例2：將X2-6X-9因式分解根據我們學習過的完全平方公式知道X2-6X-9=（X-3）2

那么對于X2-6X+8=0該如何來解呢，那么我們可以想想初三時我們學習過的解方程的方法，因式分解法，配方法，公式法，顯然對于這一題因式分解中的提取公因式，平方差公式及完全平方差公式根本無法解決，那么我們只能用配方法，和公式法

解法一 配方法：X2-6X+8=0

X2-6X=-8

X2-2*3X+32=-8+32

（X-3）2=1

所以（X-3）=1或（X-3）=-1

X=4，或X=2

解法二 公式法：X2-6X+8=0

因為 a=1，b=-6，c=8

所以 X2-6X+8=0

b2-4ac=（-6） 2-4*1*8

=4>0

所以該方程有兩個不等根； X=4，或X=2

解法三 十字交叉法（因式分解）：

X2-6X+8=0

X -2

X -4

（X-2）（X-4）=0

X=2，或X=4

對于這三種解法同學們一眼就能看出第三種解法較為簡便，但是對于十字交叉法的應用看的有點云里霧里，對于一個的式子如何將其因式分解呢？我們就來給十字交叉下一個定義：一般地我們規定十字交叉法的左邊乘積是二次項，右邊乘積是常數項，交叉乘積的和是一次項，

若給我們一個十字交叉式mX -1

X -n

則二次項為mX，一次項為-n ，常數項為–（mnX+X）=-（mn+1）

所以該一元二次方程為：Mx2-（mn+1）X-n=0

分解為：（mX-1）*（X-N） =0

下面我們就來看看關于十字交叉的例子

例：將3x2-4X-4=0因式分解

解：滿足定義的式子有

X 1 X -1 3X 1 3X -1

3X -4 3X 4 X -4 X 4

（1） （2） （3） （4）

X 2 X -2 3X 2 3X -2

3X -2 3X 2 X -2 X 2

（5） （6） （7） （8）

對于上式如果用十字交叉法可以列8種情況，根據定義可以排除6種，真正滿足題意的只有（6）和（7）兩種，其實（6）和（7）是同一種，只是位置不同而已。

對于以上分析方法同學們可能覺得每次這么列很麻煩，這也是我要強調的熟能生巧，當你熟練的掌握它，便可以很快排除不滿足條件的式子，或者說你只需要直奔目標就可以了。（注意：因式分解中80％的題目都可以用十字交叉法，可見很重要）

所以上式分解為（X-2）*（3X+2）=0

X=2 或X=-2/3

例：aX2+（a+b）X+b=0

解：x 1

ax b

所以原方程分解為：（X+1）*（aX+b）=0

所以 X=1 或 X=-a/b

例：再看下面例題：6X2-4X-2=0

解：X -1 2X -2

6X 2 3X 1

（1） （2）

可見以上兩種方法都可以，那會不會有兩個答案呢？

對于（1）分解為：（X-1）*（6X+2）=0

所以 X=1 或 X=-1/3

對于（2）分解為：（2X-2）*（3X+1=0

所以 X=1 或 X=-1/3

由此可見方程的解一樣，所以不管用哪種方法都可以。

以上就是十字交叉法的簡單應用，相信大家從以上的過程可以看到它簡便且實用，新課改要求創新，探究，總結，總而言之以提高學生的能力，能更好的適應和回饋于社會為目的，所以教育逐步走向了現代化和信息化，這個大方向是好的，充分的融入了現代教育理念，通過計算機等現代技術的應用很大程度上拓展了我們的思維，這是值得肯定的。只是希望專家在對教材知識點的增和刪時注意一下前后知識的連貫性，最后祝愿新課改的路越走越成熟。