分類討論思想在初中幾何中的應用

分類討論思想是初中階段重要的數學思想方法之一，也是近幾年中考的一個重點和熱點，但是初中學生在解決此類問題時，由于分類討論意識不強，往往不得要領，致使所得結果不完整，出現遺漏現象。這就需要教師在教學中逐步引導，認真歸納，啟發誘導，揭示分類討論的本質，從而自覺形成應用分類討論的意識。

初中幾何主要研究的圖形就是點、線、角、三角形，四邊形和圓，在一些問題中，由于點的位置的不確定性，或者三角形的邊角的不確定性，或是運動過程中圖形的變化引起的結果的不唯一，就需要進行分類討論。下面通過一些三角形、、圓和圖形相互運動中的實例來談談幾何中常見的分類討論思想的應用。

一、三角形中分類討論思想的應用

一般有以下四種類型：一是由于一般三角形的形狀不確定而進行的分類；二是由于等腰三角形的腰與底不確定而進行的分類；三是由于直角三角形的斜邊不確定而進行的分類；四是由于相似三角形的對應角（或邊）不確定而進行的分類。

1、三角形的形狀不定需要分類討論

例1、 在△ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且，則∠BCA的度數為_____________。

解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。 如圖1，當△ABC的高在形內時，由， 得△ABD∽△CAD，進而可以證明△ABC為直角三角形。由 ∠B=25°。可知∠BAD=65°。所以∠BCA=∠BAD=65°。 如圖2，當高AD在形外時，此時△ABC為鈍角三角形。 由，得△ABD∽△CAD 所以∠B=∠CAD=25°∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°

2、直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時需要分類討論

例2、 已知x，y為直角三角形兩邊的長，滿足，則第三邊的長為______________。

解析：由，可得且， 分別解這兩個方程，可得滿足條件的解，或。

由于x，y是直角邊長還是斜邊長沒有明確，因此需要分類討論。

當兩直角邊長分別為2，2時，斜邊長為；

當直角邊長為2，斜邊長為3時，另一直角邊的長為；

當一直角邊長為2，另一直角邊長為3時，斜邊長為。

綜上，第三邊的長為或或。

3、相似三角形的對應角（或邊）不確定而進行的分類。

例3、如圖所示，在中，是的中點，過點的直線交于點，若以為頂點的三角形和以為頂點的三角形相似，則的長為（ ）

析解：由于以為頂點的三角形和以為頂點的三角形有一個公共角（），因此依據相似三角形的判定方法，過點的直線應有兩種作法：一是過點作∥，這樣根據相似三角形的性質可得，即，解得；二是過點作，交邊于點，這時，于是有，即，解得. 所以的長為3或，故應選（B）。

二、圖形運動過程中分類討論的應用

圖形的運動過程中，涉及到動線、動點、動圖問題，每一種情況往往都會因為運動產生不同的結果，從而要求應用分類討論來解決。

1、 點的運動引起的圖形變化產生的分類討論問題

例4、如圖，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6）、點B（8，0），動

點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒.

（1） 求直線AB的解析式；

（2） 當t為何值時，△APQ與△AOB相似？

解析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b

由題意，得 b=6

8k+b=0

解得 k=— b=6

所以，直線AB的解析式為y=—x+6.

（2）由 AO=6， BO=8 得 AB=10，所以AP=t ，AQ=10—2t

1°當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）

2°當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）

2、 線的運動引起圖形的變化產生的分類討論問題

例5、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動。設運動的時間為t（秒）。

（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

解析：如圖1，過點P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。∴PM=DC=12

∵QB=16—t，∴S=×12×（16—t）=96—t

（2）由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

① 若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2=BQ2 得 ，解得t=；

② 若BP=BQ。在Rt△PMB中，。由BP2=BQ2 得：

即。

由于Δ=—704<0 ∴無解， ∴PB≠BQ

③ 若PB=PQ。由PB2=PQ2，得

整理，得。解得（不合題意，舍去）

綜合上面的討論可知：當t=秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。

通過以上的一些實例，我們可以發現，幾何中的分類討論應用十分廣泛。只有抓住了分類討論的動因，把握住了分類的標準，才能做到分類時條理清楚、標準一致，在解答問題時就不會重復或遺漏，保證解題準確無誤。分類過程中應把握的原則是（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行。在整個教學的過程中，教師應該循序漸進，逐步滲透分類方法和分類原則，使學生通過較長時間的培養，形成分類討論的意識，提高學生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學生學會完整地考慮問題、化整為零地解決問題，從而達到課標的要求。

參考文獻

[1] 《全日制義務教育課程標準（實驗稿）》。北京師范大學出版社

[2] 《數學思想和數學方法》。蔡上鶴

[3] 《中考中的數學思想》。南秀全